Найдите оригинал изображения Fp=1p3+2p2+5p с помощью вычетов

Воспользуемся второй теоремой разложения:
ft=k=1nresp=pkeptFp,
где p=pk- особые точки Fp.
Найдем особые точки функции Fp=1p3+2p2+5p:
p3+2p2+5p=pp2+2p+5=0⇒p1=0, p2,3=-1±1-5=-1±2i.
Особые точки pii=1,2- простые полюса Fp. Тогда
ft=k=13resp=pkeptFp.
resp=0eptp3+2p2+5p=limp→0eptp3+2p2+5p'=limp→0ept3p2+4p+5=15;
resp=-1+2ieptp3+2p2+5p=limp→-1+2ieptp3+2p2+5p'=limp→-1+2iept3p2+4p+5=
=e-1+2it3-1+2i2+4-1+2i+5=e-tcos2t+isin2t3-3-4i-4+8i+5=e-tcos2t+isin2t-8-4i=
=e-tcos2t+isin2t-42+i=e-tcos2t+isin2t2-i-20=
=e-t2cos2t+sin2t+i2sin2t-cos2t-20;
resp=-1-2ieptp3+2p2+5p=limp→-1-2ieptp3+2p2+5p'=limp→-1-2iept3p2+4p+5=
=e-1-2it3-1-2i2+4-1-2i+5=e-tcos2t-isin2t3-3+4i-4-8i+5=e-tcos2t-isin2t-8+4i=
=e-tcos2t-isin2t-42-i=e-tcos2t-isin2t2+i-20=
=e-t2cos2t+sin2t+icos2t-2sin2t-20.
ft=15-e-t2cos2t+sin2t+i2sin2t-cos2t20-
-e-t2cos2t+sin2t+icos2t-2sin2t20=15-e-t2cos2t+sin2t10.
Ответ: ft=15-e-t2cos2t+sin2t10.