Найдите общие решения дифференциальных уравнений и частные решения

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами. Найдем общее решение однородного уравнения:
y'''+3y''+2y'=0
Составим и решим характеристическое уравнение:
k3+3k2+2k=0
kk2+3k+2=0
k1=0 k2+3k+2=0
D=9-8=1 k2=-3-12=-2 k3=-3+12=-1
Корни характеристического уравнения действительные и различные, поэтому общее решение однородного уравнения:
y0=C1+C2e-2x+C3e-x
Найдем частное решение неоднородного уравнения . Правая часть неоднородного уравнения является функцией специального вида с характеристическим числом k=0, совпадающим с корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение уравнения будем искать в виде:
y=xAx2+Bx+C=Ax3+Bx2+Cx
y'=3Ax2+2Bx+C
y''=6Ax+2B
y'''=6A
6A+36Ax+2B+23Ax2+2Bx+C=12x2-12
6Ax2+18A+4B+6A+6B+2C=12x2-12
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях переменной x левой и правой части:
6A=1218A+4B=06A+6B+2C=-12
A=2B=-9C=15
y=2x3-9x2+15x
Общее решение неоднородного уравнения запишем в виде:
y=y0+y=C1+C2e-2x+C3e-x+2x3-9x2+15x