Найдите общие решения дифференциальных уравнений и частные решения

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Найдем общее решение однородного уравнения:
y''-5y'+6y=0
Составим и решим характеристическое уравнение:
k2-5k+6=0
D=25-24=1 k1=5-12=2 k2=5+12=3
Корни характеристического уравнения действительные и различные, поэтому общее решение однородного уравнения:
y0=C1e2x+C2e3x
Найдем частное решение неоднородного уравнения . Правая часть неоднородного уравнения является функцией специального вида с характеристическим числом k=2±i, не совпадающим с корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение уравнения будем искать в виде:
y=e2xAcos3x+Bsin3x
y'=2e2xAcos3x+Bsin3x+e2x-3Asin3x+3Bcos3x=
=e2x2A+3Bcos3x+(-3A+2B)sin3x
y''=2e2x2A+3Bcos3x+-3A+2Bsin3x+
+e2x-6A+9Bsin3x+-9A+6Bcos3x=
=e2x4A+6B-9A+6Bcos3x+-6A+4B-6A-9Bsin3x=
=e2x-5A+12Bcos3x+-12A-5Bsin3x
Подставим данные значения в исходное уравнение:
e2x-5A+12Bcos3x+-12A-5Bsin3x-
-5e2x2A+3Bcos3x+(-3A+2B)sin3x+6e2xAcos3x+Bsin3x=
=e2x-21cos3x+57sin3x
e2x-9A-3Bcos3x+3A-9Bsin3x=e2x-21cos3x+57sin3x
-9A-3B=-213A-9B=57
3A+B=7A-3B=19 57+9B+B=7A=19+3B 10B=-50A=19+3B A=4B=-5
y=e2x4cos3x-5sin3x
Общее решение уравнения:
y=y0+y=C1e2x+C2e3x+e2x4cos3x-5sin3x