Найдите наименьшее и наибольше значения функции z=x2-xy+2y2+3x+2y+1 в замкнутом треугольнике

Построим область
Находим стационарные точки функции:
zx'=x2-xy+2y2+3x+2y+1 x'=2x-y+3
zy'=x2-xy+2y2+3x+2y+1 y'=-x+4y+2
Приравняем их к нулю, получим систему:
2x-y+3=0,-x+4y+2=0.=>y=2x+3,-x+42x+3+4=0.=>x=-2,y=-1.
Итак, у нас есть одна стационарная точка: М.
Значение функции в стационарной точке z-2;-1=-3.
Переходим к исследованию функции на границах области, которая состоит из отрезка оси Ох, отрезка Оу и отрезка АВ прямой.
На оси Ox y=0 , а заданная функция принимает при y=0 такой вид: z=x2+3x+1, -5≤x≤0
Определим прежде всего точку стационарности
z'=x2+3x+1'=2x+3;z'=0=>2x+3=0=>x=-1,5
Определим значение функции при x=-1,5 и на концах отрезка -5;0
z-1,5;0=-54, z0;0=1,z-5;0=11
На оси Oy x=0 функция принимает вид z=2y2+2y+1, -5≤y≤0
z'=2y2+2y+1'=4y+2;z'=0=>4y+2=0=>y=-0,5
Определим значение функции при у=-0,5 и на концах рассматриваемого отрезка
z0;-0,5=12, z0;-5=41, z0;0=1
На прямой АВ y=-x-5 функция принимает вид z=4x2+26x+41,
-5≤x≤0
z'=4x2+26x+41'=8x+26=>8x+26=0=>x=-134
y=--134-5=-74
z-134;-74=-54, z-5;0=11, z0;-5=41
Среди найденных значений
z0;-0,5=12, z0;0=1, z0;-5=41, z-5;0=11,
z-134;-74=-54, z-1,5;0=-54, z-2;-1=-3
Выбираем наибольшее и наименышее
zнаиб=z0;5=41, zнаим=z-2;-1=-3