Напряженное состояние и теории прочности

Определение вида напряженного состояния
рис. 4.2 Напряженное состояние тела
рис. 4.2 Напряженное состояние тела
Запишем величины нормальных и касательных напряжений в координатных осях X, Y и Z, рис.2:
σx=-150 МПа (сжимающее напряжение);
σy=-200 МПа (растягивающее напряжение);
σz=0;
τxy=τyx=100 МПа;
τyz=τzx=0 МПа (главная площадка).
Вывод: исследуемое напряженное состояние является плоским (двухосным).
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЛАВНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ (АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД)
σ1,2=σx+σy2±σx-σy22+τxy2,
σ1=-150-2002+-150+20022+1002≃-71,92 МПа;σ2=-150-2002--150+20022+1002≃-278,08 МПа;
σ3=0.
Вычислим углы наклона нормалей к главным площадкам:
tgα1=τxyσ1-σy=100-71,92+200≃0,7808 рад, α1≃37,98°;
tgα2=τyxσz-σy=100-278,08+200≃-1,2807 рад, α2≃-52,02°.
Положение главных осей площадок показано на рис. 5.3.:
Проверка: условия правильности вычислений:
σ1+σ2=σx+σy,
-71,92+-278,08=-150-200,
-350≡-350.
и
α1+α2=90°,
37,98°+52,02°=90°.
Вычисления выполнены верно, т.к. сумма нормальных напряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках является const и главные оси напряженного состояния взаимно-перпендикулярны (Σ𝛼=90°).
Рисунок 4.3 – Главные площадки
3 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАИБОЛЬШИХ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ.
Наибольшее касательные напряжения действуют на площадках с углами наклона ±45° к главным площадкам. Величина наибольших касательных напряжений:
τmax=σ1-σ22=-71,92-(-278,08)2=103,08 МПа,
Нормальные напряжения на этих площадках:
σ'=σ1+σ22=-71,92-278,082=-175 МПа.
Положения этих площадок показано на рис. 4.4:
Рисунок 4.4 – Площадки с max касательными напряжениями
Рисунок 4.4 – Площадки с max касательными напряжениями
4. ГРАФИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ И УГЛОВ НАКЛОНА ПЛОЩАДОК
Строим круг напряжений (круг Мора), рис. 4.5, для чего:
По горизонтальной оси отложим в масштабе μσ отрезки ОВ=σx и OD=σy (с учетом знаков);
Поделим отрезок BD и получим центр С круга;
Из точки В отложим отрезок ВК⊥ОВ, равный в масштабе μσ величине τxy ,получим полюс К круга напряжений;
Проведем окружность (круг Мора) радиусом СК и обозначим точки её пересечения с осью σ (точки А и Е);
Проведем лучи КЕ и КА, которые и являются нормалями к главным площадкам (оси 1 и 2);
Замерим отрезки ОА и ОЕ и определим величины главных напряжений:
σ1=ОЕ·μσ;
σ2=ОА·μσ