Напряженное состояние и теории прочности
Исходные данные
Материал - сталь, ν = 0,25; Е = 2,05·105 МПа; σТ = 330 МПа, σв = 140 МПа,
Необходимо:
1. Записать величины нормальных и касательных напряжений в осях х, у и z и вычислить инварианты напряженного состояния в этих осях.
2. Определить величины главных напряжений σ1, σ2, σ3 и сделать эскизнапряженного состояния в осях 1, 2, 3.
3. Вычислить наибольшие касательные напряжения и сделать эскиз плоского напряженного состояния в той плоскости, в которой они действуют.
4. Считая деталь стальной, применить обобщенный закон Гука в осях х, y,и z вычислить величины угловых, линейных относительных деформаций и относительное изменение объёма элементарного параллепипида (куба). Сделать эскиз деформации.
5. Вычислить эквивалентные напряжения по III и II теориям прочности и найти действительные коэффициенты запаса прочности по этим теориям.
Рис. Х.4.1. Расчетная схема.
Решение
Определение вида напряженного состояния
Запишем величины нормальных и касательных напряжений в координатных осях X, Y и Z, рис.Х.4.2.:
222251143000σx = - 100 МПа (сжимающее напряжение);
σy = 250 МПа (растягивающее напряжение);
σz = 0;
τxy = τyx = 200 МПа;
τyz = τzу= 0 МПа (главная площадка).
Вывод: исследуемое напряженное состояние является плоским (двухосным).
Рис. Х.4.2. Напряженное состояние
тела.
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЛАВНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
(АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД)
σ1,2=σx+σy2±σx-σy22+τxy2,
σ1=-100+2502+-100-25022+2002=340,75 МПа;σ2=-100+2502--100-25022+2002= ‐190,75 МПа;
σ3=0.
Вычислим углы наклона нормалей к главным площадкам:
tgα1=τxyσ1-σy=200340,75-250≃2,204, α1≃65,6°;
tgα2=τyxσ2-σy=200-190,75-250≃-0,454, α2≃-24,4°.
Положение главных осей площадок показано на рис.Х.4.3.:
Проверка: условия правильности вычислений:
σ1+σ2=σx+σy, 340,75+-190,75=-100+250, 150≡150.
и α1+α2=90°, 65,6°+24,4=90°.
21336010731500
Вычисления выполнены верно, т.к. сумма нормальных напряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках является const и главные оси напряженного состояния взаимно-перпендикулярны , (Σ𝛼=90°).
Рис.Х.4.3.Главные площадки
3
. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАИБОЛЬШИХ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ.
Наибольшее касательные напряжения действуют на площадках с углами наклона ±45° к главным площадкам. Величина наибольших касательных напряжений:
τmax=σ1-σ22=340,75-(-190,75)2=265,75 МПа,
Нормальные напряжения на этих площадках:
σ'=σ1+σ22=340,75+-190,752=75 МПа.
Рис.Х.4.4. Площадки с максимальными касательными напряжениями.
4. ГРАФИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ И УГЛОВ НАКЛОНА ПЛОЩАДОК
Строим круг напряжений (круг Мора), рис.Х.4.5., для чего:
По горизонтальной оси откладываем в масштабе μσ отрезки ОВ=σx и
OD=σy (с учетом знаков);
Делим отрезок BD и получаем центр С круга;
Из точки В откладываем отрезок ВК⊥ОВ, равный в масштабе μσ= 3,33 МПа/мм
величине τxy, в итоге получаем полюс К круга напряжений;
Проводим окружность (круг Мора) радиусом СК и обозначаем точки её пересечения с осью σ (точки А и Е);
Проводим лучи КЕ и КА, которые и являются нормалями к главным площадкам (оси 1 и 2);
Замеряем отрезки ОА и ОЕ и определяем величины главных напряжений:
σ1=ОЕ·μσ = 102·3,33 = 339,7 МПа,
σ2=ОА·μσ = 57·3,33 = - 189,8 МПа.
Замеряем углы α1 и α2 между горизонтольной осью σ и осями 1 и 2.
Рис.Х.4.5
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
