Написать уравнение плоскости проходящей через прямую l перпендикулярно плоскости P

Нормальный вектор заданной плоскости: n1=(1;1;-1)
Запишем уравнение пучка плоскостей, проходящих через заданную прямую l:
α3x+2y-z+5+βx-y-3z+1=0
3α+βx+2α-βy+-α-3βz+5α+β=0
Нормальный вектор искомой плоскости:
n=3α+β;2α-β;-α-3β
Так как искомая плоскость перпендикулярна заданной плоскости, то их нормальные векторы ортогональны
n∙n1=0 => 3α+β+2α-β+α+3β=0 => 6α=-3β
β=-2α
Подставим данное значение в общее уравнение искомой плоскости:
3α-2αx+2α+2αy+-α+6αz+5α-2α=0
αx+4αy+5αz+3α=0
Сократим на α и получим искомое уравнение плоскости:
x+4y+5z+3=0