Написать уравнение плоскости которая перпендикулярна прямой a
.pdf
Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥
Написать уравнение плоскости, которая перпендикулярна прямой a:x=-2+λy=3-5λz=λ и проходящая через точку M01;3;2.
Приведем уравнение прямой к каноническому виду:
x+21=y-3-5=z-01
Уравнение плоскости α, проходящей через точку M0x0;y0;z0 и имеющий нормальный вектор nA;B;C представляется формулой:
Ax-x0+By-y0+Cz-z0=0
Направляющий вектор прямой a имеет следующий вид – q1;-5;1.
Для того, чтобы прямая a была перпендикулярна плоскости α, нормальный вектор плоскости α должен быть коллинеарным направляющему вектору прямой a, т.е. уравнение плоскости α примет следующий вид:
Подставляя координаты точки M0 и направляющего вектора q в общее уравнение плоскости, получим:
1∙x-1-5∙y-3+1∙z-2=0
Упростим уравнение:
x-1-5y+15+z-2=0
x-5y+z+12=0
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(1, 3, 2) и перпендикулярной прямой a имеет вид x-5y+z+12=0.
"
Дана прямая a:2x+y+3z+1=0x-z+2=0 и точка M01;3;2.
Написать уравнение плоскости:
1. проходящей через прямую a и точку M0
2. перпендикулярную прямой a и проходящую через точку M0
Нужно полное решение этой работы?
Решение
Отталкиваясь от заданных уравнений двух пересекающихся плоскостей 2x+y+3z+1=0 и x-z+2=0, получим параметрические уравнения прямой a, чтобы найти координаты двух точек M1 и M2, лежащих на прямой a. После этого напишем требуемое уравнение плоскости, проходящей через точку M0 и прямую a, как уравнение плоскости, проходящей через три точки M1, M2 и M0.
Вычислим сначала координаты направляющего вектора прямой. Для этого найдем векторное произведение нормальных векторов n1=2;1;3 и n2=1;0;-1:
a=n1×n2=ijk21310-1=-i+3j-k-2j=-i+3j-k+2j=-i+5j-k
То есть, a=-1;5;-1.
Теперь определим координаты некоторой точки заданной прямой
. Для этого найдем одно из решений системы уравнений 2x+y+3z=-1x-z=-2
Определитель 2110=2∙0-1∙1=-1 отличен от нуля, возьмем его в качестве базисного минора основной матрицы системы. Тогда переменная z является свободной, переносим слагаемые с ней в правые части уравнений, и придаем переменной z произвольное значение λ:
2x+y+3z=-1x-z=-22x+y=-1-3zx=-2+z2x+y=-1-3λx=-2+λ, λ∈R
Решаем методом Крамера полученную систему уравнений:
∆=2110=2∙0-1∙1=-1
∆x=-1-3λ1-2+λ0=-1-3λ∙0--2+λ∙1=2-λ; x=∆x∆=2-λ-1=-2+λ
∆y=2-1-3λ1-2+λ=2∙-2+λ-1∙-1-3λ=5λ-3; y=∆y∆=5λ-3-1=3-5λ
Следовательно, a:2x+y+3z+1=0x-z+2=0 x=-2+λy=3-5λz=λ
При λ1=1 получаем точку M1-1;-2;1, при λ2=2 получаем точку M20;-7;2.
Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку M01;3;2 и прямую a, имеет вид
x-0y--7z-2-1-0-2--71-21-03--72-2=0;
xy+7z-2-15-11100=0;
x∙5∙0-1∙10∙z-2-1∙1∙y+7-1∙5∙z-2-1∙0∙y+7-1∙10∙x=0
-10z+20-y-7-5z+10+10x=0
10x-y-15z+23=0
2
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
