Нахождение корней нелинейного уравнений
Локализовать корни. Найти решение нелинейного уравнения методами: бисекции, простых итераций, Ньютона с точностью ε = 0,001.
ex-2-x2=0
Решение
Локализуем корни уравнения графически:ex=2-x2
Отрезки локализации корней: [-1,4142;-1] и [0;0,5] Найдем решение нелинейного уравнения методом бисекции с точностью 𝜀 = 0,001:
ex-2-x2=0
Корень с отрезка [-3;-2]:
№ a b x F(a) F(b) F(x) ∆=b-a2
0 0 0,5 0,25 -0,41421 0,325846 -0,10792 0,25
1 0,25 0,5 0,375 -0,10792 0,325846 0,09140 0,125
2 0,25 0,375 0,3125 -0,10792 0,091402 -0,01242 0,0625
3 0,3125 0,375 0,34375 -0,01242 0,091402 0,03843 0,03125
4 0,3125 0,34375 0,32813 -0,01242 0,0384 0,01274 0,01563
5 0,3125 0,32813 0,32031 -0,01242 0,0127 0,00010 0,00781
6 0,3125 0,32031 0,31641 -0,01242 0,0001 -0,00618 0,00391
7 0,3125 0,31641 0,314454 -0,01242 -0,0062 -0,0093 0,001954
0,001954<2∙0,001
x=0,3125+0,31642=0,314
Корень с отрезка [-1,4142;-1]:
№ a b x F(a) F(b) F(x) ∆=b-a2
0 -1,4142 -1,0000 -1,2071 0,2369 -0,6321 -0,4378 0,2071
1 -1,4142 -1,2070 -1,3106 0,2369 -0,4379 -0,2617 0,1036
2 -1,4142 -1,3105 -1,3624 0,2369 -0,2619 -0,1234 0,0519
3 -1,4142 -1,3623 -1,3882 0,2369 -0,1238 -0,0204 0,0260
4 -1,4142 -1,3881 -1,4012 0,2369 -0,0208 0,0546 0,0130
5 -1,4011 -1,3881 -1,3946 0,0540 -0,0208 0,0132 0,0065
6 -1,3946 -1,3881 -1,3914 0,0132 -0,0208 -0,0045 0,0032
7 -1,3946 -1,3914 -1,3930 0,0132 -0,0044 0,0042 0,0016
0,0016<2∙0,001
x=-1,3946-1,39142=-1,393
Найдем решение нелинейного уравнения методом простых итераций с точностью 𝜀 = 0,001:
ex-2-x2=0
Функция y=ex-2-x2 непрерывна на отрезках [-1,5;-1] и [0;0,5]
φ'x=- x2-x2-ex
Производная не существует в точке x = 2, сузим отрезок до[-1,4142;-2]
Уточним корень с отрезка[-1,4142;-1] :
max|𝜑 ′ (𝑥)| = 12,681
x = x - 1M fx= x+ 0,0789 (ex-2-x2)
n xn
xn-xn-1
0 -1,41
1 -1,39934 0,01066
2 -1,39601 0,00333
3 -1,39432 0,00169
4 -1,39340 0,00092
Требуемая точность достигнута:
x = -1,393 ± 0,001.
Уточним корень с отрезка 0;0,5:
maxφ'x≈ 2,027
x = x - 1M fx= x-0,4933 ex-2-x2
n xn
xn-xn-1
0 0
1 0,20433 0,20433
2 0,28951 0,08518
3 0,31343 0,02392
4 0,31882 0,00539
5 0,31996 0,0011
6 0,32019 0,00023
Требуемая точность достигнута:
x = 0,320 ± 0,001.
Найдем решение нелинейного уравнения методом Ньютона с точностью 𝜀 = 0,001:
ex-2-x2=0
Функция y =ex-2-x2
непрерывна на отрезках : [-1,4142;-1] и [0;0,5]
y'=ex+x2-x2
y ''(x) =x2-x232+12-x2+ex
отрезок -1,4142;-1 a = -1,4142; fa= 0,249, f'' a= -19,914
x0 = a =-1,4142
xn+1 = xn - f(xn )f '(xn)
n xn
f(xn )
f '(xn)
xn-xn-1
1 -1,4142 0,2369 -228,091
2 -1,4132 0,1888 -25,6644 0,001
3 -1,4058 0,09117 -8,8835 0,0074
4 -1,3955 0,01864 -5,8449 0,0103
5 -1,3924 0,000783 -5,4725 0,0031
6 -1,39212 0,00105 -3,7894 0,000277
x=-1,392+0,001
Отрезок [0;0,5]
a=0; 𝑓(𝑎) =-0,41421, f ''(a) = 1,70711
b = 0,5; fb= 0,3258, f'' b= 2,6206
x0 = b = 0,5
xn+1 = xn - f(xn )f '(xn)
n xn
f(xn)
f '(xn)
xn-xn-1
1 0,5 0,3258 2,0267
2 0,3392 0,03093 1,6509 0,1608
3 0,3205 0,00038 1,6505 0,0187
4 0,320252 0,0004 1,6105 0,000248
x=0,320+0,001
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
