На ЖД вокзале продаются билеты на два направления: северное и южное. Интервалы прихода клиентов, покупающих билеты, на северное и южное направления случайные и имеет экспоненциальное распределение с интенсивностями λ1 и λ2 соответственно. На ЖД вокзале имеются две кассы для продажи билетов. Каждая касса обслуживает клиентов в течение случайного времени v, распределенного по экспоненциальному закону с интенсивностью μ=1v.
№ варианта λ1 1час
λ2 1час
μ1час
1 10 12 15
Администрация ЖД вокзала может организовать два варианта работы билетных касс:
1. Каждая касса обслуживает только свое направление. Первая – северное, вторая – южное. Очередь клиентов у каждой кассы своя.
2. Каждая касса может продавать билеты на любое направление: как северное, так и южное. Любой клиент, приходящий на ЖД вокзал, может воспользоваться любой свободной кассой. Очередь клиентов обоих типов общая и образуется только тогда, когда обе кассы заняты.
Для первого варианта работы ЖД вокзала необходимо найти:
- среднее число клиентов m1 и m2, покупающих билеты и ожидающих в очереди для каждой кассы;
- среднее число клиентов на северное l1 и южное l2 направления, ожидающих в очереди;
- среднее время пребывания клиентов на северное u2 и южное u2 направления на ЖД вокзале;
- среднее время ожидания клиентов в очереди на северное w1 и в очереди на южное w2 направления.
Для второго варианта работы ЖД вокзала необходимо найти:
- среднее число клиентов m на ЖД вокзале;
- среднее число клиентов l, ожидающих в очереди;
- среднее время пребывания клиента на ЖД вокзале u;
- среднее время ожидания клиента в очереди w.
Сравните между собой: m1+m2 и m, l1+l2 и l, а также u1 и u2 с u и w1 и w2 с w.
Сделать выводы о том, какой вариант работы ЖД вокзала эффективнее. Объясните почему.
Решение
1 вариант работы. Каждая касса обслуживает только свое направление. Первая – северное, вторая – южное. Очередь клиентов у каждой кассы своя.
1.1. Рассмотрим работу кассы, обслуживающей северное направление.
Вычисляем нагрузку на СМО:
ρ1=λ1μ=1015=23
Вычисляем основные характеристики работы:
- среднее число клиентов m1, покупающих билеты и ожидающих в очереди:
m1=ρ11-ρ1=231-23=2
- среднее число клиентов на северное l1 направление, ожидающих в очереди:
l1=ρ121-ρ1=2321-23=43≈1,333
- среднее время пребывания клиентов на северное направление на вокзале:
u1=m1λ1=212=16час=10(мин)
- среднее время ожидания клиентов в очереди на северное направление:
w1=l1λ1=4312=19час≈6,5(минут)
1.2. Рассмотрим работу кассы, обслуживающей южное направление.
Вычисляем нагрузку на СМО:
ρ2=λ2μ=1215=0,8
Вычисляем основные характеристики работы:
- среднее число клиентов m2, покупающих билеты и ожидающих в очереди:
m2=ρ21-ρ2=0,81-0,8=4
- среднее число клиентов на южное l2 направление, ожидающих в очереди:
l2=ρ221-ρ2=0,821-0,8=3,2
- среднее время пребывания клиентов на южное направление на ЖД вокзале:
u2=m2λ2=412=13час=20(мин)
- среднее время ожидания клиентов в очереди на южное направление:
w2=l2λ2=3,212=415час=16(минут)
2 вариант работы
. Каждая касса может продавать билеты на любое направление: как северное, так и южное. Любой клиент, приходящий на ЖД вокзал, может воспользоваться любой свободной кассой. Очередь клиентов обоих типов общая и образуется только тогда, когда обе кассы заняты.
Имеем двухканальную СМО с ожиданием с интенсивностью поступления заявок:
λ=λ1+λ2=10+12=22чел в час
Вычисляем нагрузку на СМО (:
ρ=λμ=2215≈1,4667
Тогда вероятность отсутствия заявок в системе:
P0=1k=0nρkk!+ρn+1n!n-ρ=1k=021,4667kk!+1,46672+12!2-1,4667≈0,1538
Вычисляем основные характеристики работы:
- среднее число клиентов l, ожидающих в очереди:
l=ρn+1n∙n!1-ρn2P0=1,46672+12∙2!1-1,466722∙0,1538≈1,7064
- среднее число клиентов m на ЖД вокзале:
m=l+ρ=1,7064+1,4667=3,1731
- среднее время пребывания клиента на ЖД вокзале:
u=mλ=3,173122≈0,1442час=8,652мин
- среднее время ожидания клиента в очереди:
w=lλ=1,706422≈0,0776час=4,656(мин)
Как видим, второй вариант организации работы кассы, при котором обе кассы – универсальные и продают билеты в оба направления является более предпочтительным, т.к
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
