На указанном множестве найдите не равные тождественно нулю решения дифференциального уравнения. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
На указанном множестве найдите не равные тождественно нулю решения дифференциального уравнения

На указанном множестве найдите не равные тождественно нулю решения дифференциального уравнения .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

На указанном множестве найдите не равные тождественно нулю решения дифференциального уравнения, удовлетворяющие данным краевым условиям y''+λy=0, π2≤x≤5π4,yπ2=y'5π4=0

Ответ

Собственные значения λk=21+2k32, k=0,1,2,…; собственные функции ykx=sin1+2k2x-π3, k=0,1,2,…

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Найдем собственные значения и собственные функции этой задачи Штурма-Лиувилля. Рассмотрим три случая:
1) Случай λ<0
Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения имеет вид
μ2+λ=0, ⟹ μ1,2 =±-λ.
Общее решение дифференциального уравнения y''+λy=0 можно записать в виде
yx=c1sh-λx-π2+c2ch-λx-π2
Производная функции
y'x=c1-λch-λx-π2+c2-λsh-λx-π2
Константы c1 и c2 находим из граничных условий
yπ2=c1sh 0+c2ch 0=c2=0 y'5π4=c1-λ ch3π-λ4 =0
Т.к . λ≠0, ch3π-λ4>0, то c1=0.
Получили нулевое решение y(x)≡0 − не подходит.
2) Случай λ=0
Общее решение дифференциального уравнения y''=0 имеет вид
yx=c1x+c2
Производная функции y'x=c1.
Константы c1 и c2 находим из граничных условий
y'5π4=c1=0 yπ2=c1π2+c2=0 ⇒ с2=0
Получили нулевое решение y(x)≡0 − не подходит.
3) Случай λ>0
μ1,2 =±-λ=±iλ.
Общее решение дифференциального уравнения y''+λy=0 можно записать в виде
yx=c1sinλx-π2+c2cosλx-π2
Производная функции
y'x=c1λcosλx-π2-c2λsinλx-π2
Константы c1 и c2 находим из граничных условий
yπ2=c1sin 0+c2cos 0=c2=0y'5π4=c1λcos3πλ4=0
Т.к

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу