На вход линейной стационарной динамической системы

Математическое ожидание
Приравниваем математические части обеих частей дифференциального уравнения:
My't+3Myt=Mx't+4Mxt
По условию, xt,yt – стационарны, а математические ожидания производных от случайной функции раны нулю, поэтому:
my=43mx=8
б) дисперсия
Учитывая решение задачи 886, корреляционной функции kxτ=De-ατ соответствует спектральная плотность sxω=Dαπα2+ω2
Т.е . в нашем случае D=5, α=2 имеем:
sxω=10π4+ω2
Для получения передаточной функции системы записываем дифференциальное уравнение в операторной форме:
pY+3Y=pX+4X
Т.е.:
Y=p+4p+3X
Таким образом, передаточная функция системы:
Фp=p+4p+3
Находим частотную характеристику системы p=ωi:
Фωi=ωi+4ωi+3
Находим спектральную плотность на выходе системы:
syω=sxω∙Фωi2=10π4+ω2∙ωi+42ωi+32=10π4+ω2∙16+ω29+ω2
По спектральной плотности находим дисперсию:
Dy=-∞∞syωdω=10π-∞∞16+ω24+ω29+ω2dω
Подынтегральное выражение представляем суммой дробей:
A4+ω2+B9+ω2=A9+ω2+B4+ω24+ω29+ω2=(A+B)ω2+9A+4B4+ω29+ω2
Числитель должен равняться 16+ω2, поэтому приравниваем соответствующие коэффициенты:
A+B=19A+4B=16A=125B=-75
Тогда:
Dy=-∞∞syωdω=10π-∞∞125*14+ω2-75*19+ω2dω=
=2π-∞∞124+ω2-79+ω2dω=2πlimM→∞6arctgω2-MM-73arctgω3-MM=
=2π6π-73π=223