Монополист использующий технологию с функцией издержек ТС(Q) = 31/48*Q2

В отсутствие возможности ценовой дискриминации монополист будет вынужден продавать товар в обоих регионах по единой цене. Рыночный спрос на товар будет равен сумме величин спроса в обоих регионах:
q1(p) = 10 – p, q2(p) = 26 – 2p.
Как видим, в первом регионе максимальная цена равна 10, во втором – 13. Таким образом общий спрос будет равен:
QD=36-3p, при р<1026-2р, при 10≤р<13
Отсюда обратная функция спроса будет иметь вид:
рD=12-Q3, при Q>613-Q2, при Q≤6
Отсюда выведем функцию общей и предельной выручки:
TR=12Q-Q23, при Q>613Q-Q22, при Q≤6
MR=12-2Q3, при Q>613-Q, при Q≤6
Условие максимизации прибыли MR = MC. Предельные издержки равны:
МС = dTC/dQ = 31/48*2Q = 31/24*Q
Решим систему равенств:
12-2Q3=31Q24, при Q>613-Q=31Q24, при Q≤6 Q=28847, при Q>6Q=31255, при Q≤6
Поскольку оба решения являются действительными, то определить оптимальный выпуск необходимо через сравнение прибыли в обоих случаях.
π(288/47) = 12*(288/47) – (288/47)2/3 – 31/48*(288/47)2 ~ 36,8.
π(312/55) = 13*(312/55) – (312/55)2/2 – 31/48*(312/55)2 ~ 36,9.
Поскольку π(312/55) > π(288/47), то оптимальный выпуск равен Q=312/55, при этом монополист будет продавать товар только во втором регионе по цене р = 13 – 0,5*(312/55) = 559/55.
(б) безвозвратные потери общества – это потери излишков потребителя и производителя от монополии и дискриминации по сравнению с их величинами в условиях совершенной конкуренции.
Определим параметры равновесия при совершенной конкуренции. Цена при этом является единой для регионов, условие максимизации прибыли MC = р. Рыночная функция цены (обратная функция спроса) была выведена выше. Решим систему уравнений:
12-Q3=31Q24, при Q>613-Q2=31Q24, при Q≤6 Q=28839, при Q>6Q=31243, при Q≤6
Единственным действительным решением является Q = 288/39 (т.к . Q = 312/43>6). Таким образом, в условиях совершенной конкуренции объем продаж составит QК=288/39, цена будет равна рК = 12 – (288/39)/3 = 124/13.
Объем продаж в каждом регионе составит
q1K = 10 – 124/13 = 6/13 и
q2K = 26 – 2*(124/13) = 90/13.
Тогда потребительские излишки при максимальной цене спроса р = 10 в первом регионе и р = 13 во втором регионе составят:
CS1K = ½*(10 – 124/13)*6/13 = 18/169.
CS2K = ½*(13 – 124/13)*90/13 = 2025/169.
CSK = 18/169 + 2025/169 = 2043/169.
В условиях конкуренции цена равна предельным издержкам, поэтому излишек производителя будет равен:
PSK = ½*124/13*288/39 = 5952/169.
Совокупное общественное благосостояние при конкуренции равно:
WK = CSK + PSK = 2043/169 + 5952/169 = 615/13 ~ 47,3.
Определим благосостояние общества в условиях монополии в отсутствии дискриминации. Поскольку в оптимуме объем продаж в первом регионе равен 0, то потребительский излишек равен излишку потребителей второго региона:
CSМ = ½*(13 – 559/55)*312/55 = 24436/3025 ~ 8.
В условиях монополии цена не равна предельным издержкам. Предельные издержки при данном объеме производства равны МС(312/55) = 31/24*312/55 = 403/55. Излишек производителя равен:
PSМ = ½*(559/55 + (559/55 – 403/55)*312/55 = 111540/3025 ~ 36,9.
Совокупное общественное благосостояние при монополии равно:
WМ = CSМ + PSМ = 8 + 36,9 ~ 44,9.
Таким образом, чистые потери общественного благосостояния составят:
DWL = WK – WМ = 47,3 – 44,9 = 2,4.
Графически ситуация представлена на рисунке ниже. При совершенной конкуренции оптимум определяется точкой E пересечения кривых общего спроса Q(p) и предельных издержек МС(Q), которые определяют соответствующие величины QК и рК