Мобильный робот тележка (рис. 1.) осуществляет криволинейное движение за счёт разности угловых скоростей ведущих колёс, которые вращаются при помощи моторов-редукторов (рис. 2).
Геометрические параметры мобильного робота: r=3 см, расстояние между ними a=9 см.
При известном законе движения точки, делящей расстояние между колёсами пополам:
x=-31cost см,y=36sin2t см,0≤t≤20 с.
Найти её скорость и ускорение в момент времени t=7 c.
Рекомендуется построить траекторию движения точки с помощью онлайн помощника: http://grafikus.ru/#parametric
Решение
Этап 1.
В радианах
cos2∙7=0,1367sin(2∙7)=0,9906
cos7=0,7539sin7=0,6570
График траектории движения мобильного робота-тележки
Начальное положение точка М0 при t=0
x0=-31cos0=-31 см,y0=36sin2∙0=0 см,при t1 = 7 c.
x1=-31∙0,7539= см,y1=36∙0,9906= см,
Проекция скорости средней точки (см/с) оси ведущих колёс на оси координат:
Vx=x=22cost'=-22sint
Vy=y=20sin2t'=40cos2t
при t1 = 7 c.
Vx1=31∙0,6570=20,37 см/сVy1=72∙0,1367=9,84 см/с
Скорость средней точки (см/с) оси ведущих колёс:
V1=x2+y2=31sint2+72cos2t2
при t1 = 7 c.
V1=20,372+9,842=22,62 см/с.
Проекция ускорения средней точки (см/с2) оси ведущих колёс на оси координат:
ax=x=31sint'=31cost
ay=y=72cos2t'=-144sin2t
при t1 = 7 c.
ax1=31cos7=23,37 см/с2ay1=-144sin2∙7=-142,65 см/с2
Ускорение средней точки (см/с2) оси ведущих колёс при (t1=7c):
a1=x2+y2=23,372+-142,652=144,55 см/с2.
Этап 2.
Найти ориентированную кривизну, кривизну, радиус кривизны траектории, касательное ускорение, нормальное ускорение средней точки оси ведущих колёс в указанный на первом этапе момент времени (t1 = 7 c).
Ориентированная кривизна траектории средней точки (см-1) оси ведущих колёс:
k0=yx-yxx2+y23==-144sin2t31sint-72cos2t31cost31sint2+72cos2t23
При t1 = 7 c.
k0=-144∙0,990631∙0,657-72∙0,1367∙31∙0,753931∙0,6572+72∙0,136723==-0,271 см-1.
Кривизна средней точки (см-1) оси ведущих колёс:
k=k0=0,271 см-1.
Радиусы кривизны траектории средней точки (см) оси ведущих колёс согласно определению, находится как величина обратная кривизне траектории:
ρ=1k=x2+y23xy-xy=-22sint2+40cos2t23-80sin2t-22sint-40cos2t-22cost
при t1 = 7 c.
ρ=10,271=3,69 см.
Проекция ускорения средней точки (см/с2) оси ведущих колёс на направление вектора её скорости:
av=xx-yyx2+y2=31cost31sint-72cos2t-144sin2t31sint2+72cos2t2
при t1 = 7 c.
av=31∙0,753931∙0,657-72∙0,1367∙-144∙0,990631∙0,6572+72∙0,13672==83,11 см/с2
Нормальное ускорение средней точки (см/с2) оси ведущих колёс:
an=yx-yxx2+y2=-144sin2t31sint-72cos2t31cost31sint2+72cos2t2
при t1 = 7 c.
an=-144∙0,990631∙0,657-72∙0,1367∙31∙0,753931∙0,6572+72∙0,13672==138,6 см/с2.
Этап 3.
Найти угловые скорости вращения ведущих колёc в относительном движении ω1 (левого) ω2 (правого), а также угловую скорость поворота мобильного робота в указанный на первом этапе момент времени.
ω1=Vr-Vk0a2r
ω2=Vr+Vk0a2r
ω=Vk0
Угловая скорость (рад/с) вращения левого ведущего колеса в относительном движении:
ω1=Vr-Vk0a2r
при t1 = 7 c.
ω1=22,623-22,62∙-0,271∙92∙3=16,74 рад/с
Угловая скорость (рад/с) вращения правого ведущего колеса в относительном движении:
ω2=Vr+Vk0a2r
при t1 = 7 c.
ω2=22,623+22,62∙-0,271∙92∙3=-1,66 рад/с
Угловая скорость (рад/с) поворота мобильного робота:
ω=Vk0
при t1 = 7 c.
ω=22,62∙-0,271=-6,13 рад/с.
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
