Множественная регрессия и корреляция. Изучается зависимость между стоимостью номера

Рассчитаем средние значения переменных и проведем вспомогательные вычисления, которые представим в таблице 4.
На основании данных таблицы 4 определим парные коэффициенты корреляции.
rx1y=x1-x1(y-y)x1-x1²×(y-y)²=282,0016,40×6 360=0,873;
rx2y=x2-x2(y-y)x2-x2²×(y-y)²=- 49 300,00819 000×6 360=-0,683;
rx1x2=x1-x1x2-x2x1-x1²×x2-x2²=- 1 360,0016,40×819 000=-0,371.
Значение парного коэффициента корреляции свидетельствует о сильной линейной связи между (у) и переменными x1 и x2. Кроме того, факторы x1 и x1 неколлинеарны. Таким образом, можно сделать предварительное заключение, что классность отеля (x1) и удаленность от моря (x2) существенно влияют на стоимость отеля (у).
Рассчитаем частные коэффициенты корреляции:
rx1y/x2=rx1y-rx2y×rx1x21-rx2y2(1-rx1x22)=0,873-(-0,683)×(-0,371)(1-(-0,683))(1-(-0,371)2)=0,914;
rx2y/x1=rx2y-rx1y×rx1x21-rx1y2(1-rx1x22)=-0,683-0,873×(-0,371)(1-0,8732)(1-(-0,371)2)=-0,793;
rx2x1/y=rx1x2-rx1y×rx2y1-rx1y2(1-rx2y2)=(-0,371)-0,873×(-0,683)(1-(0,873)2)(1-(-0,683)2)=0,633.
Таблица 4
Результаты вычислений
отель у x1
x2
(y-y)
(x1-x1)
(x2-x2)
(y-y)²
(x1-x1)² (x2-x2)² (y-y)×(x1-x1)
y-y
×
(x2-x2)
x1-x1
×
(x2-x2)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 35,00 2,00 800,00 -26,00 -1,20 330,00 676,00 1,44 108 900,00 31,20 -8 580,00 -396,00
2 40,00 3,00 700,00 -21,00 -0,20 230,00 441,00 0,04 52 900,00 4,20 -4 830,00 -46,00
3 60,00 4,00 800,00 -1,00 0,80 330,00 1,00 0,64 108 900,00 -0,80 -330,00 264,00
4 80,00 4,00 400,00 19,00 0,80 -70,00 361,00 0,64 4 900,00 15,20 -1 330,00 -56,00
5 90,00 5,00 200,00 29,00 1,80 -270,00 841,00 3,24 72 900,00 52,20 -7 830,00 -486,00
6 45,00 2,00 500,00 -16,00 -1,20 30,00 256,00 1,44 900,00 19,20 -480,00 -36,00
7 95,00 4,00 150,00 34,00 0,80 -320,00 1 156,00 0,64 102 400,00 27,20 -10 880,00 -256,00
8 70,00 3,00 300,00 9,00 -0,20 -170,00 81,00 0,04 28 900,00 -1,80 -1 530,00 34,00
9 55,00 3,00 500,00 -6,00 -0,20 30,00 36,00 0,04 900,00 1,20 -180,00 -6,00
10 45,00 2,00 400,00 -16,00 -1,20 -70,00 256,00 1,44 4 900,00 19,20 1 120,00 84,00
11 85,00 5,00 300,00 24,00 1,80 -170,00 576,00 3,24 28 900,00 43,20 -4 080,00 -306,00
12 75,00 4,00 600,00 14,00 0,80 130,00 196,00 0,64 16 900,00 11,20 1 820,00 104,00
13 30,00 2,00 900,00 -31,00 -1,20 430,00 961,00 1,44 184 900,00 37,20 -13 330,00 -516,00
14 40,00 2,00 300,00 -21,00 -1,20 -170,00 441,00 1,44 28 900,00 25,20 3 570,00 204,00
15 70,00 3,00 200,00 9,00 -0,20 -270,00 81,00 0,04 72 900,00 -1,80 -2 430,00 54,00
сумма 915,00 48,00 7 050,00 - -0,00 - 6 360,00 16,40 819 000,00 282,00 -49 300,00 -1 360,00
среднее 61,00 3,20 470,00 - -0,00 - 424,00 1,09 54 600,00 18,80 -3 286,67 -90,67
Коэффициенты частной корреляции дают более точную характеристику тесноты зависимости двух признаков, чем коэффициенты парной корреляции, так как «очищают» парную зависимость от взаимодействия данной пары переменных с другими переменными, представленными в модели . Наиболее тесно связаны у и x1. Частный коэффициент корреляции показал, что связь между факторами присутствует.
2) Построим линейное уравнение множественной регрессии
Для начала вычислим среднеквадратическое отклонение признаков:
σy=(y-y)²n=6 360,0015= 20,591;
σx1=(x1-x1)²n=16,4015= 1,046;
σx2=(x2-x2)²n=819 00015= 233,666.
Далее определяем параметры линейной множественной регрессии:
b1=σyσx1×rx1y-rx2y×rx1x2rx1x22=20,5911,016×0,873-(-0,683)×(-0,371)(-0,371)2=14,152;
b2=σyσx2×rx2y-rx1y×rx1x2rx1x22=20,591233,666×-0,683-0,873×(-0,371)(-0,371)2=-0,037;
a=y-b1×x1-b2×x2=61-14,152×3,20-(-0,037)×470=32,960.
Таким образом, получим уравнение множественной регрессии:
ŷ = 32,960 + 14,152×x1-0,037×x2.
Уравнение регрессии показывает, что при увеличении классности отеля на 1 звезду (при неизменном уровне удаленности отеля от моря) стоимость номера увеличивается в среднем на 14,152 у.е., а при увеличении удаленности отеля от моря на 1 м (при неизменном уровне классности отеля) стоимость номера уменьшается в среднем на 0,037 у.е.
Рассчитаем скорректированный коэффициент детерминации:
R2=1-n-1n-m-1×1-rx1y2+rx2y2-2×rx1y×rx2y×rx1x21-rx1x22=
=1-15-115-2-1×
×1-0,8732+(-0,683)2-2×0,873×(-0,683)×(-0,371)1-(-0,371)2=0,897.
Таким образом, 89,7% вариации зависимой переменной объясняется вариацией независимых переменных
Проверим значимость уравнения регрессии на 95% уровне