Многократные равноточные измерения конденсатора дали следующие результаты: 813.86 пФ, 800.78 пФ, 812.34 пФ, 814.48 пФ, 811.47 пФ, 815.71 пФ, 812.07 пФ, 814.92 пФ, 811.49 пФ, 812.59 пФ. Считая закон распределения случайной погрешности нормальным, а результаты измерений исправленными, провести статистическую обработку результатов измерений для доверительной вероятности 0,95.
Решение
В ряду измеренных значений присутствует результат, подозрительный на содержание грубой погрешности, C2=800,78 пФ. Находим среднее арифметическое значение по исходной выборке, исключив это значение:
C=1ni=1nCi=
=813,86+812,34+814,48+811,47+815,71+812,07+814,92++811,49+812,599=
=7318,939=813,214 пФ.
Рассчитываем среднее квадратическое отклонение данного ряда:
S=1n-1i=1nCi-C2=
=813,86-813,2142+812,34-813,2142+814,48-813,2142++811,47-813,2142+815,71-813,2142+812,07-813,2142++814,92-813,2142+811,49-813,2142+812,59-813,21429-1=
=19,6362248=1,567 пФ.
Для проверки результатов измерений на наличие грубых погрешностей (промахов) при числе наблюдений n<20 используем критерий Романовского.
Вычисляем отношение:
C-CiS=β
и полученное значение β сравниваем с теоретическим βт при заданном уровне значимости q
. Если полученное значение β ≥ βт, результат измерения признают промахом.
Таблица 2.1 – Значения теоретического уровня значимости βт
n P
0.90 0.95 0.99
3 1.412 1.414 1.414
5 1.869 1.917 1.972
7 2.093 2.182 2.310
9 2.238 2.349 2.532
11 2.343 2.470 2.689
13 2.426 2.563 2.809
15 2.523 2.670 2.946
17 2.551 2.701 2.983
19 2.601 2.754 3.049
Получаем:
β=C-C2S=813,214-800,781,567=7,935.
Из приведенной таблицы 2.1 при заданном уровне доверительной вероятности P=0,95 и числе измерений n=9 находим теоретический уровень значимости βт для данного ряда:
βтn=9=2,349.
Сравниваем значение β с найденным значением βт:
7,935>2,349, то есть β>βт,
следовательно, результат C2=800,78 пФ содержит грубую погрешность и его следует исключить из ряда измеренных значений.
Рассчитываем среднее квадратическое отклонение среднего арифметического данного ряда:
SC=i=1nCi-C2n*n-1=Sn=1,5679=0,522 пФ.
По соответствующей таблице 2.2 находим значение tn;P квантиля распределения Стьюдента при доверительной вероятности P=0,95 и n=9:
tn;P=2,31.
Таблица 2.2 – Квантили распределения Стьюдента
Число измерений,n Доверительная вероятность Pд
0.90 0.95 0.98 0.99 0.999
2 6,31 12,71 31,82 63,68 636,62
3 2,92 4,30 6,97 9,93 31,60
4 2,35 3,18 4,54 5,84 12,92
5 2,13 2,78 3,75 4,60 8,61
6 2,02 2,57 3,37 4,06 6,87
7 1,94 2,45 3,14 3,71 5,96
8 1,90 2,37 3,00 3,50 5,41
9 1,86 2,31 2,90 3,36 5,04
10 1,83 2,26 2,82 3,25 4,78
11 1,81 2,23 2,76 3,17 4,59
12 1,80 2,20 2,72 3,11 4,44
13 1,78 2,18 2,68 3,06 4,32
14 1,77 2,16 2,65 3,01 4,22
15 1,76 2,15 2,62 2,98 4,14
16 1,75 2,13 2,60 2,95 4,07
17 1,75 2,12 2,58 2,92 4,02
18 1,74 2,11 2,57 2,90 3,97
19 1,73 2,10 2,55 2,88 3,92
20 1,73 2,09 2,54 2,86 3,88
∞
1,65 1,96 2,33 2,58 3,29
Доверительные границы истинного значения емкости конденсатора с вероятностью P=0,95 рассчитываются по формуле:
C-SC*tn;P<C<C+SC*tn;P.
Получаем:
813,214-0,522*2,31<C<813,214+0,522*2,31;
813,214-1,206<C<813,214+1,206.
Окончательно записываем результат измерения давления в виде:
812,01 пФ<C<814,42 пФ; P=0,95
или
C=813,2±1,2 пФ, P=0,95.
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
