Методом наименьших квадратов оцените параметры a и b линейной зависимости

1. Зависимость имеет вид:
Методом наименьших квадратов оценим параметры a и b линейной зависимости.
Их определяют по формулам:
Вспомогательные значения и результаты:
t x t*t t*x x*x x(t) x-x(t) (x-x(t))^2 (t-tsr)^2
4 13 16 52 169 13,21 -0,2143 0,046 16,000
6 17 36 102 289 18,69 -1,6905 2,858 4,000
7 23 49 161 529 21,43 1,5714 2,469 1,000
9 28 81 252 784 26,90 1,0952 1,200 1,000
10 30 100 300 900 29,64 0,3571 0,128 4,000
12 34 144 408 1156 35,12 -1,119 1,252 16,000
Сумма 48 145 426 1275 3827 145,00 0,00 7,952 42,000
Среднее
8,000 24,167 71,000 212,500 637,833        
a = 2,7381
b = 2,2619
Зависимость имеет вид:
x(t) = 2,2619 + 2,7381t.
2 . Вычислим восстановленные значения зависимой переменной x(t), сравним их с исходными значениями (найдем разности) и проверим условие точности вычислений:
Суммы равны 145, равенство соблюдено.
Сумма попарных разностей равна нулю.
3. Найдем остаточную сумму квадратов:
У нас SS = 7,952
Оценим дисперсию погрешностей и среднее квадратическое отклонение:
;
Получаем:
σ2* = 7,952/6 = 1,325;
σ* = 1,151.
4. Рассчитаем прогнозное значение (точечный прогноз xˆ(tпрогн)):
xˆ(tпрогн) = 2,2619 + 2,7381*15 = 43,3334.
Рассчитаем доверительные границы для него (для доверительной вероятности 0,95) для tпрогн по формулам:
Получаем (U(0.95) = 1.96):
;
xверх(t) = 43,3334 – 2,6050 = 40,7284;
xниж(t) = 43,3334 + 2,6050 = 45,9384.
5