Методом конечных разностей найти решение краевой задачи

Разобьем отрезок [0,1] на части с шагом h=1/3, получим четыре узловые точки:
x0=0,
x1=13,
x2=23,
x3=1,
Производные заменим их конечно-разностными аппроксимациями:
y'xi=yi+1-yi-12h
–y''+5y=e2xy0=1,y1=e2
y0=1-y2-2y1+y0(1/3)2+5y1=e2x1-y3-2y2+y11/32+5y2=e2x2y3=e2
y0=1-9y2+18y1-9y0+5y1=1,947734-9y3+18y2-9y1+5y2=3,793668y3=5,436564
y0=1-9y2+23y1-9y0=1,947734-9y3+23y2-9y1=3,793668y3=5,436564
Решим систему уравнений методом прогонки:
Вычислим прогоночные коэффициенты:
-β1γ100α2-β2γ200α3-β3γ300α4-β4δ1δ2δ3δ4
Pi=γiβi-αiPi-1,
Qi=αiQi-1-δiβi-αiPi-1.
P1=γ1β1=0
P2=γ2β2-α2P1=0,391304
P3=γ3β3-α3P2=0,462054
Q1=α1Q0-δ1β1-α1P0=1
Q2=α2Q1-δ2β2-α2P1=0,475988
Q3=α3Q2-δ3β3-α3P2=0,414696
Обратный ход:
xn=αnQn-1-δnβn-αnPn-1,
xn-1=Pn-1xn+Qn-1,
y4=α4Q3-δ4β4-α4P2=5,43656,
y3=P3y4+Q3=2.92668,
y2=P2y3+Q2=1.62121,
y1=P1y2+Q1=1,
Разобьем отрезок [0,1] на части с шагом h=1/6, получим семь узловых точек:
x0=0,
x1=16,
x2=13,
x3=12,
x4=23,
x5=56,
x6=1,
–y''+5y=e2xy0=1,y1=e2
y0=1-y2-2y1+y0(1/6)2+5y1=e2x1-y3-2y2+y11/62+5y2=e2x2-y4-2y3+y21/62+5y3=e2x3-y5-2y4+y3(1/6)2+5y4=e2x4-y6-2y5+y4(1/6)2+5y5=e2x5y6=e2
y0=1-36y0+72y1-36y2+5y1=1,395612-36y1+72y2-36y3+5y2=1,947734-36y2+72y3-36y4+57y3=2,718282-36y3+72y4-36y5+5y4=3,793668-36y4+72y5-36y6+5y5=5,29449y6=5,436564
y0=1-36y0+77y1-36y2+5y1=1,395612-36y1+77y2-36y3+5y2=1,947734-36y2+77y3-36y4+57y3=2,718282-36y3+77y4-36y5+5y4=3,793668-36y4+77y5-36y6+5y5=5,29449y6=5,436564
Решим систему уравнений
y0=1,
y1=1,23735,
y2=1,60779
y3=2,14743
y4=2,90982,
y5=3,97096,
y6=5,43656
Оценка погрешности по правилу Рунге:
σ=yih-yih23
x y(x) (h=1/3) y(x) (h=1/6) погрешность по рунге
0 1 1 0
0,166667
1,237352
0,333333 1,621211 1,607791 0,004474
0,5
2,14743
0,666667 2,92668 2,909816 0,005621
0,833333
3,970963
1 5,436564 5,436564 0
Графики приближенных решений: