Методом конечных разностей найти решение краевой задачи
–y''+qxy=f(x)y0=y0,y1=y1
с шагами h1=1/3, h2=1/6 и оценить погрешность по правилу Рунге. Построить графики полученных приближенных решений.
qx=6
fx=6(1-x-x3)
y0=1
y1=2
–y''+6y=6(1-x-x3)y0=1,y1=2
Решение
Разобьем отрезок [0,1] на части с шагом h=1/3, получим четыре узловые точки:
x0=0,
x1=13,
x2=23,
x3=1,
Производные заменим их конечно-разностными аппроксимациями:
для внутренних точек:
y'xi=yi+1-yi-12h
y''xi=yi+1-2yi+yi-1h2
для граничных точек:
y0'x0=y1-y0h
yn'xn=yn-yn-1h
y0''x0=-y2+4y1+3y02h
yn''xn=3yn-4yn-1+yi-22h
y0=1-y2-2y1+y0(1/3)2+6y1=6(1-x1-x13)-y3-2y2+y11/32+6y2=6(1-x2-x23)y3=2
y0=1-9y2+18y1-9y0+6y1=3,77778-9y3+18y2-9y1+6y2=0,22222y3=2
y0=1-9y0+24y1-9y2=3,77778-9y1+24y2-9y3=0,22222y3=2
1000-924-900-924-9000113,777780,222222
Решим систему уравнений методом прогонки:
Вычислим прогоночные коэффициенты:
-β1γ100α2-β2γ200α3-β3γ300α4-β4δ1δ2δ3δ4
Pi=γiβi-αiPi-1,
Qi=αiQi-1-δiβi-αiPi-1.
P1=γ1β1=0
P2=γ2β2-α2P1=0,375
P3=γ3β3-α3P2=0,436364
Q1=α1Q0-δ1β1-α1P0=1
Q2=α2Q1-δ2β2-α2P1=0,532407
Q3=α3Q2-δ3β3-α3P2=0,243098
Обратный ход:
xn=αnQn-1-δnβn-αnPn-1,
xn-1=Pn-1xn+Qn-1,
x4=α4Q3-δ4β4-α4P2=2,
x3=P3x4+Q3=1,115825,
x2=P2x3+Q2=0,950842,
x1=P1x2+Q1=1,
То есть:
y0=1,
y1=0,950842,
y2=1,115825,
y3=2,
Разобьем отрезок [0,1] на части с шагом h=1/6, получим семь узловых точек:
x0=0,
x1=16,
x2=13,
x3=12,
x4=23,
x5=56,
x6=1,
Производные заменим их конечно-разностными аппроксимациями:
для внутренних точек:
y'xi=yi+1-yi-12h
y''xi=yi+1-2yi+yi-1h2
для граничных точек:
y0'x0=y1-y0h
yn'xn=yn-yn-1h
y0''x0=-y2+4y1+3y02h
yn''xn=3yn-4yn-1+yi-22h
y0=1-y2-2y1+y0(1/6)2+6y1=6(1-x1-x13)-y3-2y2+y11/62+6y2=6(1-x2-x23)-y4-2y3+y21/62+6y3=6(1-x3-x33)-y5-2y4+y3(1/6)2+6y4=6(1-x4-x43)-y6-2y5+y4(1/6)2+6y5=6(1-x5-x53)y6=2
y0=1-36y0+72y1-36y2+6y1=4,97222-36y1+72y2-36y3+6y2=3,77778-36y2+72y3-36y4+6y3=2,25-36y3+72y4-36y5+6y4=0,22222-36y4+72y5-36y6+6y5=-2,47222y6=2
y0=1-36y0+78y1-36y2=4,97222-36y1+78y2-36y3=3,77778-36y2+78y3-36y4=2,25-36y3+78y4-36y5=0,22222-36y4+78y5-36y6=-2,47222y6=2
Решим систему уравнений методом прогонки:
Вычислим прогоночные коэффициенты:
-β1γ100000α2-β2γ200000α3-β3γ300000α4-β4γ400000α5-β5γ500000α6-β6γ600000α7-β7δ1δ2δ3δ4δ5δ6δ7
1000000-3678-3600000-3678-3600000-3678-3600000-3678-3600000-3678-36000000114,972223,777782,250,22222-2,472222
Pi=γiβi-αiPi-1,
Qi=αiQi-1-δiβi-αiPi-1.
P1=γ1β1=0
P2=γ2β2-α2P1=0,461538
P3=γ3β3-α3P2=0,586466
P4=γ4β4-α4P3=0,632831
P5=γ5β5-α5P4=0,65196
P6=γ6β6-α6P5=0,660194
Q1=α1Q0-δ1β1-α1P0=1
Q2=α2Q1-δ2β2-α2P1=0,525285
Q3=α3Q2-δ3β3-α3P2=0,369605
Q4=α4Q3-δ4β4-α4P3=0,273449
Q5=α5Q4-δ5β5-α5P4=0,182302
Q6=α6Q5-δ6β6-α6P5=0,075018
Обратный ход:
xn=αnQn-1-δnβn-αnPn-1,
xn-1=Pn-1xn+Qn-1,
x7=2,
x6=1,395406,
x5=1,092052,
x4=0,964533,
x3=0,935271,
x2=0,956948,
x1=1,
То есть
y0=1,
y1=0,956948,
y2=0,935271,
y3=0,964533,
y4=1,092052,
y5=1,092052,
y6=1,395406,
y7=2,
Оценка погрешности по правилу Рунге:
σ=yih-yih23
x y(x) (h=1/3) y(x) (h=1/6) погрешность по рунге
0 1 1 0
0,166667
0,956948
0,333333 0,950842 0,935271 0,00519
0,5
0,964533
0,666667 1,115825 1,092052 0,00792
0,833333
1,395406
1 2 2 0
Графики приближенных решений:
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
