Методом конечных разностей найти решение краевой задачи

Разобьем отрезок [0,1] на части с шагом h=1/3, получим четыре узловые точки:
x0=0,
x1=13,
x2=23,
x3=1,
Производные заменим их конечно-разностными аппроксимациями:
y'xi=yi+1-yi-12h
–y''+11+xy=x2-4x-5y0=1,y1=8
y0=1-y2-2y1+y0(1/3)2+11+x1y1=x12-4x1-5-y3-2y2+y11/32+11+x2y2=x22-4x2-5y3=8
y0=1-9y2+18y1-9y0+0,75=-6,22222-9y3+18y2-9y1+0,6y2=-7,22222y3=8
y0=1-9y2+18,75-9y0=-6,22222-9y3+18,6y2-9y1=-7,22222y3=8
1000-918,75-900-918,6-900011-6,22222-7,222228
Решим систему уравнений методом прогонки:
Вычислим прогоночные коэффициенты:
-β1γ100α2-β2γ200α3-β3γ300α4-β4δ1δ2δ3δ4
Pi=γiβi-αiPi-1,
Qi=αiQi-1-δiβi-αiPi-1.
P1=γ1β1=0
P2=γ2β2-α2P1=0,48
P3=γ3β3-α3P2=0,63025
Q1=α1Q0-δ1β1-α1P0=1
Q2=α2Q1-δ2β2-α2P1=0,148148
Q3=α3Q2-δ3β3-α3P2=-0,41239
Обратный ход:
xn=αnQn-1-δnβn-αnPn-1,
xn-1=Pn-1xn+Qn-1,
y4=α4Q3-δ4β4-α4P2=8,
y3=P3y4+Q3=4,62963,
y2=P2y3+Q2=2,37037,
y1=P1y2+Q1=1,
Разобьем отрезок [0,1] на части с шагом h=1/6, получим семь узловых точек:
x0=0,
x1=16,
x2=13,
x3=12,
x4=23,
x5=56,
x6=1,
–y''+11+xy=x2-4x-5y0=1,y1=8
y0=1-y2-2y1+y0(1/6)2+11+x1y1=x12-4x1-5-y3-2y2+y11/62+11+x2y2=x22-4x2-5-y4-2y3+y21/62+11+x3y3=x32-4x3-5-y5-2y4+y3(1/6)2+11+x4y4=x42-4x4-5-y6-2y5+y4(1/6)2+11+x5y5=x52-4x5-5y6=8
y0=1-36y0+72y1-36y2+0,857143y1=-5,63889-36y1+72y2-36y3+0,75y2=-6,22222-36y2+72y3-36y4+0,666667y3=-6,75-36y3+72y4-36y5+0,6y4=-7,22222-36y4+72y5-36y6+0,545455=-7,63889y6=8
y0=1-36y0+72,857143y1-36y2=-5,63889-36y1+72,75y2-36y3=-6,22222-36y2+72,666667y3-36y4=-6,75-36y3+72,6y4-36y5=-7,22222-36y4+72,545455y5-36y6=-7,63889y6=8
Решим систему уравнений
y0=1,
y1=1,587963,
y2=2,37037
y3=3,375,
y4=4,62963,
y5=6,162037,
y6=8
Оценка погрешности по правилу Рунге:
σ=yih-yih23
x y(x) (h=1/3) y(x) (h=1/6) погрешность по рунге
0 1 1 2,29E-15
0,166667
1,587963
0,333333 2,370371 2,37037 6,62E-08
0,5
3,375
0,666667 4,62963 4,62963 7,44E-08
0,833333
6,162037
1 8 8 0
Графики приближенных решений: