Методом Фурье решить краевую задачу для уравнения Лапласа в секторе

Запишем уравнение Лапласа (1) в полярных координатах r,φ
1r∂∂rr∂u∂r+1r2∂2u∂φ2=0.
(4)
По смыслу задачи ищем ограниченное решение
ur,φ<+∞, 0≤r≤2.
(5)
Применим метод Фурье разделения переменных. Ищем нетривиальное решение уравнения (4) в виде произведения
ur,φ=ZrΦφ.
Подставляем ur,φ в таком виде в уравнение Лапласа (4)
1r∂∂rr∂ZrΦφ∂r+1r2∂2ZrΦφ∂φ2=0
Учитывая, что Zr, Φφ – функции только одного аргумента, получим
ΦφrddrrdZrdr+Zrr2d2Φφdφ2=0.
Умножим это уравнение на r2ZrΦφ
rZrddrrdZrdr+1Φφd2Φφdφ2=0,
rZrddrrdZrdr=-1Φφd2Φφdφ2=λ=const,
поскольку левая часть равенства – это функция только от r, а правая часть –только от φ.
В результате переменные разделились, и получили два обыкновенных дифференциальных линейных уравнения
Φ''(φ)+λΦφ=0,
rddrrdZrdr-λZr=0,
r2Z''r+rZ'r-λZr=0.
(6)
Подставляя ur,φ в виде ZrΦφ в граничные условия (3), получим
Z(r)Φ0=0, Z(r)Φπ2=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
Φ0=0, Φπ2=0.
Таким образом, для функции Φφ получили задачу Штурма-Лиувилля
Φ''(φ)+λΦφ=0Φ0=0, Φπ2=0
Общее решение имеет вид
Φφ=Acosλφ+Bsinλφ.
Неизвестные коэффициенты A, B найдем из граничных условий
Φ0=A =0 ⇒ A=0 Φπ2=Acosλπ2+Bsinλπ2=Bsinλπ2=0
Поскольку ищем ненулевое решение, то B≠0 и получили следующее спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
sinλπ2=0,
λπ2=πn, n=1,2,…
Собственные значения задачи равны
λn=2n2=4n2, n=1,2,…
Им соответствуют собственные функции (с точностью до постоянного множителя)
Φnφ=sin2nφ, n=1,2,…
Уравнение (6) при n>0 имеет вид
r2Zn''r+rZn'r-4n2Znr=0.
Это уравнение Эйлера второго порядка, его решение ищем в виде Znr~rα