Методом наименьших квадратов построить многочлен второй степени, аппроксимирующий функцию, заданную таблично. Найти значение многочлена в заданных точках, абсолютную и среднеквадратичную погрешность, построить графики.
xk
yk
0,25 2,161
0,26 2,177
0,28 2,210
0,30 2,226
0,32 2,240
0,33 2,287
Решение
При нахождении приближающей функции в виде y=ax2+bx+c, коэффициенты выражаются из системы двух линейных уравнений с тремя неизвестными:
ai=0nxi2+bi=0nxi+nc=i=0nyiai=0nxi3+bi=0nxi2+ci=0nxi=i=0nxiyiai=0nxi4+bi=0nxi3+ci=0nxi2=i=0nxi2yi
Сведем результаты расчетов в таблицу
№ xk
yk
x2
x∙y
x3
x4
y∙x2
1 0,25 2,161 0,0625 0,54025 0,015625 0,00390625 0,1350625
2 0,26 2,177 0,0676 0,56602 0,017576 0,00456976 0,1471652
3 0,28 2,21 0,0784 0,6188 0,021952 0,00614656 0,173264
4 0,3 2,226 0,09 0,6678 0,027 0,0081 0,20034
5 0,32 2,24 0,1024 0,7168 0,032768 0,01048576 0,229376
6 0,33 2,287 0,1089 0,75471 0,035937 0,01185921 0,2490543
Сумма 1,74 13,301 0,5098 3,86438 0,150858 0,04506754 1,134262
Взяв данные из расчетной таблицы, составим систему
0,5098∙a+1,74∙b+6∙c=13,3010,150858∙a+0,5098∙b+1,74∙c=3,864380,04506754∙a+0,150858∙b+0,5098∙c=1,134262a=3,62426b=-0,73861c=2,123089
В итоге имеем функцию многочлена 2-й степеней:
y=3,624∙x2-0,739∙x+2,123
Найдем значения многочлена в заданных точках.
y0,25=3,624∙0,252-0,739∙0,25+2,123≈2,165
y0,26=3,624∙0,262-0,739∙0,26+2,123≈2,176
y0,28=3,624∙0,282-0,739∙0,28+2,123≈2,20
y0,3=3,624∙0,32-0,739∙0,3+2,123≈2,227
y0,32=3,624∙0,322-0,739∙0,32+2,123≈2,258
y0,33=3,624∙0,332-0,739∙0,33+2,123≈2,274
Вычисление показателей качества: индекс корреляции R, коэффициент детерминации R2, средняя квадратическая ошибка εкв, средняя ошибки аппроксимации A.
Промежуточные расчеты представим в таблице.
№ x
y
y
y-y2
y-y2
y-y
y-yy
1 0,25 2,161 2,165 0,000014 0,003117 -0,003750 0,001735
2 0,26 2,177 2,176 0,000001 0,001587 0,001158 0,000532
3 0,28 2,21 2,200 0,000096 0,000047 0,009798 0,004434
4 0,3 2,226 2,227 0,000002 0,000084 -0,001460 0,000656
5 0,32 2,24 2,258 0,000310 0,000537 -0,017618 0,007865
6 0,33 2,287 2,274 0,000175 0,004923 0,013216 0,005779
Сумма 1,74 13,301 13,2997 0,000599 0,010295 0,001345 0,021001
Вычислим среднее значение параметра y:
y=ykn=13,3016=2,217
Найдем индекс корреляции R:
R=1-y-y2y-y2=1-0,0005990,010295=0,9705
Вычислим коэффициент детерминации R2:
R2=0,97052=0,9419
Теперь найдем среднюю квадратическую ошибку εкв и среднюю ошибку аппроксимации A:
εкв=y-y2n=0,0005996=0,009988
A=1ny-yy∙100 %=16∙0,021001∙100 %=0,35 %
Построим в Excel на одной координатной плоскости заданные точки и параболу, полученную с помощью МНК.
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
