Методами комплексного анализа найти сумму функционального ряда. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Методами комплексного анализа найти сумму функционального ряда

Методами комплексного анализа найти сумму функционального ряда .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Методами комплексного анализа найти сумму функционального ряда: Sx=n=1∞sin(nx)n, 0<x<2π

Ответ

Sx=n=1∞sin(nx)n=π-x2, 0<x<2π

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Положим:
a=n=1∞cosnxn=cosx+12cos2x+13cos3x+…+
b=n=1∞sin(nx)n=sinx+12sin2x+13sin3x+…+
Учитывая, что:
eix=cosx+isinx, e-ix=cos(-x)+isin(-x)=cosx-isinx
a+ib=cosx+12cos2x+13cos3x+…+i∙sinx+12sin2x+13sin3x+…+=
=eix+12e2ix+13e3ix+…
a-ib=cosx+12cos2x+13cos3x+…-i∙sinx+12sin2x+13sin3x+…+=
=e-ix+12e-2ix+13e-3ix+…
Используем известное разложение в степенной ряд функции логарифма:
ln1+t=t-t22+t33-….
t=-eix => ln1-eix=-eix+e2ix2-e3ix3+….
t=-e-ix => ln(1-e-ix)=-e-ix+e-2ix2-e-3ix3+….
a+ib=-ln1-eix
a-ib=-ln1-e-ix
Тогда, получаем, что:
a+ib-a-ib=2ib=-ln1-eix+ln1-e-ix=ln1-e-ix1-eix
b=n=1∞sin(nx)n=12i∙ln1-e-ix1-eix=12i∙ln1-e-ix1-eix∙eixeix=12i∙lneix-11-eix∙1eix=
=12i∙ln-1eix=12i∙ln-1-lneix=12i∙ln-1-ix∙lne=
Учитывая, что: -1=cosπ+isinπ=eiπ
=12i∙lneiπ-ix∙lne=12i∙iπ∙lne-ix∙lne=iπ-ix2i=π-x2
Ответ:
Sx=n=1∞sin(nx)n=π-x2, 0<x<2π

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу