Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение

Для определения скорости груза A применим теорему об изменении
кинетической энергии системы в интегральной форме:
Так как система неизменяемая и начинает движение из состояния покоя, то
Тогда теорема будет иметь вид:
(1)
Определим кинетическую энергию системы:
T=T1+T2+T3+T4, где
T1=0.5*mA*VA2- кинетическая энергия груза A, совершающего
поступательное движение;
T2=0.5*JB*ωB2 - кинетическая энергия ступенчатого блока B, совершающего
вращательное движение;
T3=0.5*mD*VD2+0.5*JD*ωD2 - кинетическая энергия ступенчатого блока D,
совершающего плоскопараллельное движение;
T4=0.5*mE*VE2 - кинетическая энергия груза E, совершающего
поступательное движение;
Величины ωB, ωD, VD, VE, выражаем через скорость VA.
ωB=VA/rB=5*VA;
VD=ωB*RB=5*VA*0.6=3*VA;
ωD=VD/RD=3*VA/0.5=6*VA;
VE=ωD*(RD+rD)=6*VA*(0.5+0.1)=3.6*VA;
Итак, ωB=5*VA, VD=3*VA, ωD=6*VA, VE=3.6*VA;
Моменты инерции блока B и блока D относительно осей вращения:
JB=mB*ρB2=6*m*0.3*0.3=0.54*m;
JD=mD*ρD2=2*m*0.2*0.2=0.08*m;
Получаем выражения кинетических энергий тел:
T1=0.5*mA*VA2=0.5*8*m*VA2=4*m*VA2;
T2=0.5*JB*ωB2=0.5*0.54*m*25*VA2=6.75*m*VA2;
T3=0.5*mD*VD2+0.5*JD*ωD2=
=0.5*2*m*9*VA2+0.5*0.08*m*36*VA2=
=9*m*VA2+1.44*m*VA2=10.44*m*VA2;
T4=0.5*mE*VE2=0.5*3*m*12.96*VA2=19.44*m*VA2;
Кинетическая энергия всей системы:
T=T1+T2+T3=4*m*VA2+6.75*m*VA2+10.44*m*VA2+19.44*m*VA2=40.63*m*VA2;
Итак, кинетическая энергия всей системы:
T=40.63*m*VA2; (2)
Определяем работу внешних сил системы на перемещении S . Внешние силы:
силы тяжести PA, PB, PD, PE опорные реакции NA, NB, сила трения Fтр.
SA=S=3м;
SD=3*S1=9м;
SE=3.6*S1=10.8м;
Запишем выражения для работ внешних сил системы на её конечном
перемещении S1:
A(PA)=-PA*SA*sinα=-mA*g*SA*sinα=-8*m*10*0.5*3≈-120*m;
A(Fтр)=-f*NA*SA=-f*mA*g*cosα*SA=-0.2*8*m*10*0.866*3≈-41.568*m;
A(PD)=PD*SD=mD*g*SD=2*m*10*9≈180*m;
A(PE)=PE*SE=mE*g*SE=3*m*10*10.8≈324*m;
У работы силы знак положительный, если проекция силы на перемещение
имеет положительное значение и наоборот, если проекция силы на
перемещение имеет отрицательное значение, то знак работы отрицательный;
A(PB, NB)=0, так как точка приложения этих сил или неподвижна.
Сумма работ внешних сил:
k=1nAke=A(PE)+A(PD)+A(PA)+A(Fтр)=
=324*m+180*m-120*m-41.568*m≈342.432*m;
По теореме об изменении кинетической энергии:
T=k=1nAke;
40.63*m*VA2=342.432*m;
VA2=342.432*m/(40.63*m)≈8.428058;
VA=8.428058 ≈2.9м/с;
Для определения ускорения груза A применим теорему об изменении
кинетической энергии в дифференциальной форме:
(3)
Мощность внутренних сил так как (для неизменяемых систем).
Определяем мощность внешних сил, действующих на механическую
систему:
N(PA)=PA*sinα*VA=mA*g*sinα*VA=8*m*10*0.5*VA≈40*m*VA;
N(FAтр)=f*NA*VA=f*mA*g*cosα*VA=0.2*8*m*10*0.866*VA≈13.856*m*VA;
N(PD)=PD*VD=mD*g*VD=2*m*10*3*VA≈60*m*VA;
N(PE)=PE*VE=mE*g*VE=3*m*10*3.6*VA≈108*m*VA;
k=1nNke=N(PE)+N(PD)-N(PA)-N(FAтр)=
=40*m*VA+60*m*VA-40*m*VA-13.856*m*VA≈46.144*m*VA;
Итак:
k=1nNke ≈46.44*m*VA;
Дифференцируем уравнение (2):
dT/dt=d(40.63*VA2)/dt=40.63*m*2*VA*dVA/dt=81.24*m*VA*aA;
Приравнивая левую и правую части теоремы (3), получим:
81.24*m*VA*aA=46.44*m*VA;
aA=46.44/81.24≈0.57м/с2;
Все вектора скоростей, сил, ускорений изображены на рисунке 1.2
Ответ: VA≈2.9м/с, aA≈0.57м/с2.