Механическая система изображённая на рис
.pdf
Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥
Механическая система, изображённая на рис. Д-3, состоит из трёх тел, соединённых не растяжимыми и не провисающими нитями; при этом тела системы совершают поступательное движение (груз Р), вращаются вокруг неподвижной горизонтальной оси (соосные блоки 1, жёстко насаженные на единую ось), совершают плоскопараллельное движение (однородный диск 2).
При выполнении задания необходимо:
1. Составить математическую модель для определения движений всех тел механической системы, а так же реакций внешних и внутренних связей в виде замкнутой системы дифференциальных и алгебраических уравнений.
2. Для груза Р получить дифференциальное уравнение движения.
3. Для груза Р получить дифференциальное уравнение движения используя теорему об изменении кинетической энергии.
4. Решить полученное в пунктах 2 и 4 дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях.
5. Получить математическую модель для анализа условий равновесия рассматриваемой механической системы.
Q1 = 10 Н;Q2 = 20 Н
r1 = 0,3 м;r2 = 0,32 м
ρ1 = 0,05 м;f = 0,1
k = 0,005;q0 = 0,4 м
q0 = 0,2 м/с;P = 5 Н
M = 3 Н ∙ м;α = 30◦
Нужно полное решение этой работы?
Ответ
Движение груза массой Р описывается уравнением S = f(t) = 2,39t2 + 0,2t + 0,4, которое было получено двумя разными методами. Для того, чтобы исследуемая система находилась в равновесии вес груза должен быть в пределах 16,11 ≤ P ≤ 25,83 Н.
Решение
1. Груз P движется поступательно, соосный блок 1 вращается, цилиндр 2 совершает плоское движение – качение. Точка касания цилиндра с поверхностью качения является МЦС тела 2.
Принимаем в качестве обобщённой координаты перемещения груза P ивыражаем все угловые и линейные скорости через V
ω1 = Vr1V1 = ω1r2 = r2r1 V
V12 ∙0,5r2 = V20,5r2 = ω2ω2 = V1r2 = r2r1r2 V = Vr1
V2 = ω2 ∙ 0,5r2 = 0,5r2r1 V = r22r1 V
Составляем таблицу кинематических связей
Тело Перемещение Скорость Ускорение Возможное перемещение
P S V = S
a = S
δS
Q1 φ1 = Sr1
ω1 = φ1 = Sr1
ε1 = φ1 = Sr1
δφ = δSr1
Q2 S2 = r22r1 S V2 = S2 = r22r1 S
a2 = S2 = r22r1 S
δS2 = r22r1 δS
φ2 = Sr1
ω2 = φ2 = Sr1
ε2 = φ2 = Sr1
δφ2 = δSr1
2. Мысленно разделяем систему на отдельные тела и составляем дифференциальное уравнение для каждого тела
Груз P
Pg S = -P sin α – Fтр + T1(1)
0 = N – P cos α(2)
Соосный блок 1
0 = -T2 cos α + RX + T3(3)
0 = RY – T2 sin α – Q1(4)
JC1φ1 = -r1T2 + r2T3(5)
Цилиндр 2
Q2g S2 = -T4 + FCY(6)
0 = N2 – Q2(7)
JC2φ2 = -0,5r2T4 – 0,5r2FCY + M – kN2(8)
С учётом того, что сила действия равна силе противодействия и уравнений кинематических связей объединяем 1, 2, 5, 6, 7, 8 в систему.
Моменты инерции тел вращения
JC1 = Q1g ρ1JC2 = 12 Q2g (r22)2 = 18g Q2r22
|T1| = |-T2|;|T3| = |-T4|
Pg S= -Psinα- Fтр+ T1 Fтр=fN (9)0=N-Pcosα (10)Q1g ρ12 Sr1= -r1T1+ r2T3 (11)Q2g ∙ r22r1 S= -T3+ FCY (12)0= N2- Q2 (13)18 ∙ Q2g r22 ∙ Sr1= -0,5r2T3-0,5r2FCY+M-kN2 (14)
(13)N2 = Q2
(12) и (14)(12) домножаем на 12 r2
Q2g ∙ r224r1 S = -12 r2T3 + 12 r2FCY
Q2g ∙ r224r1 S = -12 r2T3 - 12 r2FCY + M – kQ2
Q2g ∙ 38 ∙ r22r1 S = -r2T3 + M – kQ2
T3 = -1r2 (Q2g ∙ 38 ∙ r22r1 S – M + kQ2)
(10)N = P cos α
(9)T1 = P sin α + fN + Pg S = P sin α + fP cos α + Pg S
(11)Q1g Q12r1 S = -r1P (sin α + f cos α) + r1 Pg S - Q2g ∙ 38 ∙ r22r1 S + M – kQ2
Q1g Q12r1 S + Pg r1S + Q2g ∙ 38 ∙ r22r1 S = -r1P (sin α + f cos α) + M – kQ2
делим на r1
Sg (Q1 (Q1r1)2 + P + 38 Q2 (r2r1)2) = -P (sin α – f cos α) + 1r1 (M – kQ2)
S = -P sin α – f cos α+ 1r1 M – kQ2Q1Q1r12+P+ 38 Q2 r2r12 q
3
. По теореме об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме
dTdt = ∑Nke
Кинетическая энергия системы
T = TP + T1 + T2
TP = 12 Pg V2
T1 = 12 JC1ω12 = 12 Q1g ρ12 V2r12
T2 = 12 Q2g V22 + 12 JC2ω22 = 12 Q2g r224r12 V2 + 12 ∙ 18 ∙ Q2g r22 V2r12 =
= (18 + 116) Q2g (r2r1)2 V2 = 316 Q2g (r2r1)2 V2
T = 12g (P + Q1 (ρ1r1)2 + 38 Q2 (r2r1)) V2
Мощность активных сил системы
∑Nke = N(P) + N(N) + N(Fтр) + N(Q1) + N(RX) + N(RY) + N(Q2) + N(N2) +
+ N(M) + N(MC) + N(FCY)
N ┴ V => N(N) = 0
N(P) = -P sin α ∙ V
N(Fтр) = -FтрV = -fNV = -fP cos α ∙ V
N(Q1) = N(RX) = N(RY), так как точка их приложения неподвижна
N(Q2) = 0, так как Q2 ┴ V2
N(N2) = N(FCY), так как N2 и FCY приложены к неподвижной точке – МЦС тела 2
N(M) = Mω2 = M Vr1
N(MC) = -MCω2 = -kN2ω2 = -kQ2 Vr1
∑Nke = (-P sin α – fP cos α + Mr1 – kQ2 1r1) V = [-P (sin α + f cos α) +
+ 1r1 (M – kQ2)] V
dTdt = ddt (12g (P + Q1 (ρ1r1)2 + 38 Q2 (r2r1)) V2) = 12g (P + Q1 (ρ1r1)2 + 38 Q2 (r2r1)2) 2V dVdt
1g (P + Q1 (ρ1r1)2 + 38 Q2 (r2r1)2) V ∙ a = [-P (sin α + f cos α) + 1r1 (M – kQ2)] V
a = S = -P sinα+fcosα+ 1r1 M-kQ2P+ Q1 ρ1r12+ 38 Q2 r2r12 g
4
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
