Матрица вероятностей перехода цепи Маркова имеет вид:
Р=0,260,510,140,580,450,710,160,040,15
Распределение по состояниям в момент времени t=0 определяется вектором q=0.12;0,53;0,35. Найдите:
Распределение по состояниям в момент времени T=2;
Вероятности того, что в момент времени t=0,1,2,3 состояния цепи будут равны соответственно 1,3,3,2
Стационарное распределение
Ответ
1)р2=0.40985;0,4117;0,4035
2) р10=0,12, р31=0,4652, р32=0,4035, р23=0,4104
3) р(1/3,1/3,1/3)
Решение
Найдем распределение по состояниям в момент времени T=1
Начальное распределение р0=q=0.12;0,53;0,35
Значит, распределение вероятностей в момент времени t=1 можно найти по формуле:
р1=р0*Р1=0.12;0,53;0,35*0,260,510,140,580,450,710,160,040,15=0.431;0,3851;0,4652
Найдем распределение по состояниям в момент времени T=2
р2=р1*Р1=0.431;0,3851;0,4652*0,260,510,140,580,450,710,160,040,15=0.40985;0,4117;0,4035
2)Найдем вероятность того, что в момент t =0 состоянием цепи будет i = 1.
Так как р0=0.12;0,53;0,35, то р10=0,12
Найдем вероятность того, что в момент t =1 состоянием цепи будет i = 3.
Так как р1=0.431;0,3851;0,4652,то р31=0,4652
Найдем вероятность того, что в момент t =2 состоянием цепи будет i = 3.
Так как р2=0.40985;0,4117;0,4035,то р32=0,4035
Найдем распределение по состояниям в момент времени T=3
р3=р2*Р1=0.40985;0,4117;0,4035*0,260,510,140,580,450,710,160,040,15=0.4099;0,4104;0,4102
Найдем вероятность того, что в момент t =3 состоянием цепи будет i = 2
.
Так как р3=0.4099;0,4104;0,4102,то р23=0,4104
3)Найдем стационарное распределение вероятностей р из формулы
р= р*Р1
Получаем систему:
р1=0,26р1+0,58р2+0,16р3р2=0,51р1+0,45р2+0,04р3р3=0,14р1+0,71р2+0,15р3р1+р2+р3=1
или0=-0,74р1+0,58р2+0,16р30=0,51р1-0,55р2+0,04р30=0,14р1+0,71р2-0,85р3р1+р2+р3=1
Решим полученную систему:
Сформируем расширенную матрицу :
-74
100
58
100
16
100
0
51
100
-55
100
4
100
0
14
100
71
100
-85
100
0
1 1 1 1
Разделим строку 1 на a1,1 = -74
100
Получим матрицу :
1 -29
37
-8
37
0
51
100
-55
100
4
100
0
14
100
71
100
-85
100
0
1 1 1 1
Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на a2,1= 51
100
:
1 -29
37
-8
37
0
0 -139
925
139
925
0
14
100
71
100
-85
100
0
1 1 1 1
Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на a3,1= 7
50
:
1 -29
37
-8
37
0
0 -139
925
139
925
0
0 3033
3700
-3033
3700
0
1 1 1 1
Вычтем из строки 4 строку 1 умноженную на a4,1= 1
:
1 -29
37
-8
37
0
0 -139
925
139
925
0
0 3033
3700
-3033
3700
0
0 66
37
45
37
1
Разделим строку 2 на a2,2 = -139
925
Получим матрицу :
1 -29
37
-8
37
0
0 1 -1 0
0 3033
3700
-3033
3700
0
0 66
37
45
37
1
Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на a3,2= 3033
3700
:
1 -29
37
-8
37
0
0 1 -1 0
0 0 0 0
0 66
37
45
37
1
3-ю строку из матрицы удалим (она обнулилась).
Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на a3,2= 66
37
:
1 -29
37
-8
37
0
0 1 -1 0
0 0 3 1
Разделим строку 3 на a3,3 = 3
Получим матрицу :
1 -29
37
-8
37
0
0 1 -1 0
0 0 1 1
3
Вычтем из строки 2 строку 3 умноженную на a2,3= -1
:
1 -29
37
-8
37
0
0 1 0 1
3
0 0 1 1
3
Вычтем из строки 1 строку 3 умноженную на a1,3= -8
37
:
1 -29
37
0 8
111
0 1 0 1
3
0 0 1 1
3
Вычтем из строки 1 строку 2 умноженную на a1,2= -29
37
:
1 0 0 1
3
0 1 0 1
3
0 0 1 1
3
Выпишем систему уравнений по последней расширенной матрице:
x1
=
1
3
x2
=
1
3
x3 =
1
3
Стационарное распределение вероятностей р(1/3,1/3,1/3)
Ответ:
1)р2=0.40985;0,4117;0,4035
2) р10=0,12, р31=0,4652, р32=0,4035, р23=0,4104
3) р(1/3,1/3,1/3)
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
