Марковские цепи с непрерывным временем
Задана матрица интенсивностей переходов непрерывной цепи Маркова. Составить размеченный граф состояний системы, соответствующей этой матрице, записать систему дифференциальных уравнений Колмогорова. Определить стационарные и предельные распределения вероятностей.
Λ=16231623161614340
Решение
Марковскую цепь с непрерывным временем можно изображать размеченным графом состояний.
Составим граф состояний для заданной матрицы интенсивностей переходов
Λ=λ11λ12λ13λ21λ22λ23λ31λ32λ33=16231623161614340
Состояние Si называется существенным, если нет другого состояния Sj такого, что, перейдя однажды каким-то способом из Si в Sj, система уже не может вернуться в Si.
По графу видно, что состояния все состояния имеют прямые переходы, значит, они существенны. Поэтому цепь регулярна.
Составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова
p1't,p2't,p3't=p1t,p2t,p3tλ11λ12λ13λ21λ22λ23λ31λ32λ33
Тогда получим систему для заданной матрицы интенсивностей переходов:
p1'=16p1+23p2+14p3p2'=23p1+16p2+34p3p3'=16p1+16p2+0∙p3
Найдем стационарное вероятности, полагая что
p1'=0, p2'=0, p3'=0
Присоединим к системе уравнений условие p1+p2+p3=1, получим систему линейных алгебраических уравнений:
16p1+23p2+14p3=023p1+16p2+34p3=016p1+16p2=0p1+p2+p3=12p1+8p2+3p3=08p1+2p2+9p3=0p1+p2=0p1+p2+p3=1
Решение полученная система не имеет, следовательно, нету стационарных вероятностей системы.
Для отыскания предельного распределения вероятностей состояний будем решать систему:
p1'=16p1+23p2+14p3p2'=23p1+16p2+34p3p3'=16p1+16p2
Исключая переменную p3=1-p1-p2, получим:
p1'=-112p1+512p2+14p2'=-112p1-712p2+34
Получаем линейную неоднородную систему дифференциальных уравнений
. Пользуясь метод исключения, выразим из первого уравнения системы p2:
p2=125p1'-15p1-35
Далее дифференцируем по t обе части:
dp2dt=125∙dp1dt-15p1-35t'=125∙d2p1d2t-15∙dp1dt
Подставим p2 и dp2dt во второе уравнение системы dp2dt=-112p1-712p2+34:
125∙d2p1d2t-15∙dp1dt=-112p1-712∙125∙dp1dt-15p1-35+34
125∙d2p1d2t-15∙dp1dt=-112p1-75∙dp1dt+760p1+720+34
125∙d2p1d2t+65∙dp1dt-130p1=1110
В результате произведенных преобразований получаем линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
125∙d2p1d2t+65∙dp1dt-130p1=0
Составим и решим характеристическое уравнение:
125λ2+65λ-130=0
72∙λ2+36∙λ-1=0
D=362-4*72*-1=1296+288=1584>0
λ1,2=-36±1584144=-36±1211144=-14±1112
λ1=-14-1112≈-0,5264 и λ2=-14+1112≈0,0264
Корнями характеристического уравнения являются два различных действительных числа
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
