Линия задана уравнением в декартовой прямоугольной системе координат:
2x2+8x+y+7=0.
Требуется:
1) перевести уравнение кривой в полярную систему координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс–с полярной осью;
2) построить линию по точкам начиная от φ=0 до φ=2π , придавая φ значения через промежуток π8 .
Решение
В задаче 2 уравнение кривой второго порядка 2x2+8x+y+7=0 приведено к каноническому виду: x+22=-2∙14y-1. Это уравнение параболы у которой ветви направлены вниз, ось симметрии этой параболы: x=-2, она параллельна оси ОУ, но не совпадает с ней, вершина находится в точке А ( - 2 ; 1 ), параметр р=14 .
Чтобы можно было данное уравнение из декартовой системы координат перевести в полярную систему координат таким образом, чтобы начало координат совпало с полюсом полярной системы координат, а положительно направленная полуось прямоугольной системы координат совпала с полярной осью, сделаем параллельный перенос прямоугольной системы координат ХОУ так, чтобы начало новой системы координат Х1О1У1 совпало с точкой фокуса данной параболы, то есть О1-2;78 по формулам: x1=x+ay1=y+b , где а = -2, b=78, или x1=x-2y1=y+78
. Тогда в новой прямоугольной системе координат Х1О1У1 уравнение данной параболы примет вид: x12=-12y1. В системе координат Х1О1У1 вершина параболы x12=-12y1 находится в точке О10;0, ветви параболы направлены вниз, ось симметрии совпадает с осью О1У1, параметр р1=р=14 . Теперь можно уравнение параболы x12=-12y1 из прямоугольной системе координат Х1О1У1 перевести в полярную систему координат, где начало прямоугольной системы координат будет совпадать с полярным полюсом, а положительно направленная полуось О1Х1 совпадать с полярной осью.
Так как начало прямоугольной системы координат находится в фокусе параболы, воспользуемся формулами перехода: x=rcosφy+p2=rsinφ где r – полярный радиус.
x12=-12y1;
rcosφ2=-12rsinφ-18;
r2cos2φ=-12rsinφ+116, используем формулу cos2φ+sin2φ=1, cos2φ=1-sin2φ,
r21-sin2φ=-12rsinφ+116;
r2-r2sin2φ=-12rsinφ+116;
r2=r2sin2φ-12rsinφ+116; используем формулу a2-2ab+b2=a-b2,
r2=rsinφ-142;
r=±rsinφ-14, так как r>0, то
r=-rsinφ-14 ⇒ r=-rsinφ+14 ⇒ r+rsinφ=14 ⇒ r1+sinφ=14 ⇒
r=141+sinφ или r=14+4sinφ- уравнение линии в полярных координатах.
Найдем область определения полученной функции:
41+sinφ≠0 ⇒ 1+sinφ≠0 ⇒ sinφ≠-1 ⇒ φ≠3π2+2πn, n∈Z.
Для построения линии в полярной системе координат составим таблицу значений полярного радиуса r при определенных значениях полярного угла φ:
φ
sinφ
1+sinφ
41+sinφ
141+sinφ
1 0 0 1 4 0,25
2 π8
0,383 1,383 5,532 0,18
3 2π8=π4
0,707 1,707 6,828 0,14
4 3π8
0,924 1,924 7,696 0,13
5 4π8=π2
1 2 8 0,125
6 5π8
0,924 1,924 7,696 0,13
7 6π8=3π4
0,707 1,707 6,828 0,14
8 7π8
0,383 1,383 5,532 0,18
9 8π8=π
0 1 4 0,25
10 9π8
-0,383 0,617 2,468 0,405
11 10π8
-0,707 0,293 1,172 0,85
12 11π8
-0,924 0,076 0,304 3,29
13 12π8=3π2
--- --- --- ---
14 13π8
-0,924 0,076 0,304 3,29
15 14π8=7π4
-0,707 0,293 1,172 0,85
16 15π8
-0,383 0,617 2,468 0,405
17 16π8=2π
0 1 4 0,25
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
