Линейного программирования. Найти оптимальное решение задачи графическим методом

Решим задачу графическим методом.
Для этого в неравенствах системы ограничений перейдем к равенствам и построим соответствующие прямые:
x1+2x2=10→L13x1-3x2=6→L22x1+3x2=6→L33x1+x2=4→L4
Чтобы определить расположение соответствующей полуплоскости относительно граничной прямой, подставим координаты какой-либо точки в левую часть каждого неравенства.
Так, например, подставим координаты точки O0;0 в левую часть первого и второго ограничения:
x1+2x2=1∙0+2∙0=0≤103x1-3x2=3∙0-3∙0=0≥62x1+3x2=2∙0+3∙0=0≤63x1+x2=3∙0+1∙0=0≥4
Так как координаты этой точки удовлетворяют первому и третьему неравенствам, следовательно, данные полуплоскости включают начало координат. Заметим, что координаты этой точки не удовлетворяют второму и четвертому неравенствам, следовательно, данные полуплоскости не включают начало координат.
Штриховкой отметим найденные полуплоскости.
Областью допустимых решений (ОДР) является закрашенная область ABC.
Найдем в этой области оптимальное решение.
Вначале построим вектор c, координаты которого равны частным производным функции LX по переменным x1 и x2: c=∂L∂x1;∂L∂x2=1;6. Этот вектор является градиентом функции LX=x1+6x2 и указывает направление возрастания ее значений.
Зафиксируем какое-нибудь значение функции LX=const, получим линейное уравнение x1+6x2=const, графиком которого является прямая, называемая линией уровня . Градиент перпендикулярен линиям уровня.
Решим данную задачу на максимум: LX=x1+6x2→max
Перемещаем линию уровня параллельно самой себе в направлении градиента до конца ОДР, то есть до точки B, координаты которой находятся как решение системы уравнений:
3x1-3x2=62x1+3x2=6
3x1-3x2+2x1+3x2=6+6
3x1+2x1=12
5x1=12
x1=2,4
x2=x1-2=2,4-2=0,4
Получаем оптимальное решение задачи: x1*=2,4 и x2*=0,4.
Максимальное значение целевой функции при этом составит:
maxL=x1+64x2=1∙2,4+6∙0,4=2,4+2,4=4,8
Решим данную задачу на минимум: LX=x1+6x2→min
Перемещаем линию уровня параллельно самой себе в направлении градиента до первого касания с ОДР, то есть до точки A, координаты которой находятся как решение системы уравнений:
3x1-3x2=6x2=0
Получаем оптимальное решение задачи: x1*=2 и x2*=0.
Минимальное значение целевой функции при этом составит:
minL=x1+6x2=1∙2+6∙0=2+0=2
Решить задачу с использованием компьютера