Л4 В бесконечном цилиндре радиуса a начиная с момента t=0 происходит тепловыделение с постоянной плотностью Q=e-αt

Будем рассматривать задачу в цилиндрической системе координат (r,φ,z). Ось z направим по оси цилиндра. Тогда учитывая осесимметричность постановки и однородность вдоль оси z, температура будет зависеть только от r и t . Распределение температуры T(r,t) в цилиндре описывается уравнением теплопроводности
cρTt=kΔT+Qe-αt,
k − коэффициент теплопроводности; c − удельная теплоемкость; ρ − плотность материала стержня.
Запишем это уравнение в цилиндрических координатах
cρk∂T∂t=1r∂∂rr∂T∂r+Qke-αt, 0≤r<a, t>0,
Проведем следующую замену переменной времени
τ=ktcρ,
тогда уравнение примет вид
∂T∂τ=1r∂∂rr∂T∂r+qe-βτ, 0≤r<a, τ>0,
(1)
где q=Qk, β=cραk.
На поверхности цилиндра r=a температура T0, следовательно, граничное условие
Ta,τ=T0, τ>0
(2)
Начальное условие
Tr,0=0.
(3)
Будем искать ограниченное решение
T(r,τ)<∞, 0≤r<a.
(4)