Координаты вектора в базисе. Даны векторы ε1(2
.pdf
Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥
Координаты вектора в базисе.Даны векторы ε1(2;-1;4), ε2(-3;0;-2), ε3(4;5;-3), X(7;23;4). Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора X в этом базисе.Данная задача состоит из двух частей. Сначала необходимо проверить образуют ли векторы базис. Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, в противном случае вектора не являются базисными и вектор X нельзя разложить по данному базису.Вычислим определитель матрицы:
E = 2 -1 4
-3 0 -2
4 5 -3
Нужно полное решение этой работы?
Ответ
X = 381/23
443/23
182/23
X = 381/23 a + 443/23 b + 182/23 c
Решение СЛАУ методом Крамера
Запишем систему в виде:
A = 2 -3 4
-1 0 5
4 -2 -3
BT = (7,23,4)Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю.Определитель:∆ = 2*(0*(-3)-(-2)*5)-(-1)*((-3)*(-3)-(-2)*4)+4*((-3)*5-0*4) = -23Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор результата В.
7 -3 4
23 0 5
4 -2 -3
Найдем определитель полученной матрицы.∆1 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = 7*(0*(-3)-(-2)*5)-23*((-3)*(-3)-(-2)*4)+4*((-3)*5-0*4) = -381Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор результата В.
2 7 4
-1 23 5
4 4 -3
Найдем определитель полученной матрицы.∆2 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = 2*(23*(-3)-4*5)-(-1)*(7*(-3)-4*4)+4*(7*5-23*4) = -443Заменим 3-й столбец матрицы А на вектор результата В.
2 -3 7
-1 0 23
4 -2 4
Найдем определитель полученной матрицы.∆3 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = 2*(0*4-(-2)*23)-(-1)*((-3)*4-(-2)*7)+4*((-3)*23-0*7) = -182Выпишем отдельно найденные переменные Х
Решение
∆ = 2*(0*(-3) - 5*(-2)) - -3*((-1)*(-3) - 5*4) + 4*((-1)*(-2) - 0*4) = -23Определитель матрицы равен ∆ =-23Так как определитель отличен от нуля, то векторы образуют базис, следовательно, вектор X можно разложить по данному базису. Т.е. существуют такие числа α1, α2, α3, что имеет место равенство:X = α1ε1 + α2ε2 + α3ε3Запишем данное равенство в координатной форме:(7;23;4) = α(2;-1;4) + α(-3;0;-2) + α(4;5;-3)Используя свойства векторов, получим следующее равенство:(7;23;4) = (2α1;-1α1;4α1;) + (-3α2;0α2;-2α2;) + (4α3;5α3;-3α3;)(7;23;4) = (2α1 -3α2 + 4α3;-1α1 + 0α2 + 5α3;4α1 -2α2 -3α3) По свойству равенства векторов имеем:2α1 -3α2 + 4α3 = 7-1α1 + 0α2 + 5α3 = 234α1 -2α2 -3α3 = 4
Решаем полученную систему уравнений методом Крамера.
Ответ:
X = 381/23
443/23
182/23
X = 381/23 a + 443/23 b + 182/23 c
Решение СЛАУ методом Крамера
Запишем систему в виде:
A = 2 -3 4
-1 0 5
4 -2 -3
BT = (7,23,4)Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю.Определитель:∆ = 2*(0*(-3)-(-2)*5)-(-1)*((-3)*(-3)-(-2)*4)+4*((-3)*5-0*4) = -23Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор результата В.
7 -3 4
23 0 5
4 -2 -3
Найдем определитель полученной матрицы.∆1 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = 7*(0*(-3)-(-2)*5)-23*((-3)*(-3)-(-2)*4)+4*((-3)*5-0*4) = -381Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор результата В.
2 7 4
-1 23 5
4 4 -3
Найдем определитель полученной матрицы.∆2 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = 2*(23*(-3)-4*5)-(-1)*(7*(-3)-4*4)+4*(7*5-23*4) = -443Заменим 3-й столбец матрицы А на вектор результата В.
2 -3 7
-1 0 23
4 -2 4
Найдем определитель полученной матрицы.∆3 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = 2*(0*4-(-2)*23)-(-1)*((-3)*4-(-2)*7)+4*((-3)*23-0*7) = -182Выпишем отдельно найденные переменные Х
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
