Конфигурация электрической цепи, представленная в виде схемы (рис.1):
Рис. 1 - Исходные данные для расчета
параметры источников электрической энергии:
источники ЭДС:
Е1=21 В;
Е2=21 В;
Е3=67 В;
источники тока:
J1=0,5 А.
параметры пассивных элементов электрической цепи (значения активных сопротивлений R1 - R8):
R1=18 Ом;
R2=48 Ом;
R3=41 Ом;
R4=20 Ом;
R5=49 Ом;
R6=19 Ом;
R7=80 Ом;
R8=27 Ом.
Внутреннее сопротивление всех источников ЭДС R0=0,1 Ом.
В ходе анализа процессов в электрической цепи (рис.1) необходимо выполнить:
определить значения токов, протекающих через каждый элемент рассматриваемой схемы;
выполнить проверку полученных значений токов используя баланс мощностей.
Ответ
значения токов, протекающих в рассматриваемой схеме (рис.1) составляют:
Решение
Рассмотрим схему представленную на рис.1 и определим количество ветвей присутствующих в схеме, при этом произвольно обозначаем направления протекающих в ветвях токов. В рассматриваемой схеме присутствует 8 ветвей, в каждой из которых протекает собственный ток. Вводим обозначения для токов протекающих в ветвях рассматриваемой схемы I1, I2, I3, … I8. Ток I8 соответствует току в ветви, содержащей источник тока J1. Таким образом значение тока I8 может считаться известным и равным значению J1:
. (1)
Остальные значения токов I1 – I7 в ветвях схемы (рис.1) рассматриваем как неизвестные. Для определения значений токов I1 – I7 необходимо составить систему из 7-ми линейных уравнений, используя законы Кирхгофа. По первому закону Кирхгофа необходимо составить (n-1) уравнение, где n – количество узлов. В рассматриваемой схеме содержится 5 узлов (узлы на схеме обозначены цифрами от 1 до 5), таким образом значение n в данном случае равно 5. Следовательно, по первому закону Кирхгофа составляем уравнения для любых 4-х узлов рассматриваемой схемы. Для 1-го узла уравнение по первому закону Кирхгофа запишется как:
. (2)
Для 2-го узла:
. (3)
Для 3-го узла:
. (4)
или:
. (4а)
Для 4-го узла:
. (5)
или:
. (5а)
Четыре уравнения (2)-(5а) составлены по первому закону Кирхгофа. Оставшиеся четыре уравнения из 7-ми необходимых следует записать по второму закону Кирхгофа предварительно выделив в рассматриваемой схеме (рис.1) три независимых контура. При этом в схеме следует выделять контуры, не содержащие источники тока. В схеме выделяются три независимых контура без источников тока, обозначенных соответственно I-III. Направление обхода контуров определяем произвольно.
Рис. 2 - Схема после преобразования
Для контура I уравнение записанное по второму закону Кирхгофа будет иметь вид:
. (6)
Падения напряжения на элементах, входящих в данный контур и содержащиеся в правой части уравнения (6) преобразуем используя закон Ома через величину токов, протекающих через соответствующие элементы. Тогда уравнение (6) запишется следующим образом:
, (7)
или:
. (8)
Для контура II уравнение записанное по второму закону Кирхгофа будет иметь следующий вид:
. (9)
Для контура III:
. (10)
Вводим следующие обозначения:
(11)
После чего, используя уравнения (8) – (11) формируем систему линейных уравнений, которую можно рассматривать как математическую модель процессов преобразования энергии в электрической цепи, представленной в виде схемы на рис. 2:
(12)
Полученную систему уравнений следует решить относительно неизвестных токов I1 – I7. Для этих целей систему уравнений (12) предварительно следует преобразовать к матричной форме записи:
(13)
(14)
Вводим следующие обозначения в системе уравнений, записанной в матричной форме (14):
матрица системы или матрица коэффициентов при неизвестных R:
(15)
матрица-столбец неизвестных переменных I, в качестве которых в данном случае рассматриваются токи I1 – I7:
(16)
матрица-столбец свободных членов Е:
(17)
Учитывая обозначения (15)-(17) систему уравнений (14) можно записать в следующем виде:
. (18)
Полученная система уравнений (18) может быть решена относительно токов одним из известных методов решения системы алгебраических линейных уравнений (методом Крамера, методом Гаусса, с использованием обратной матрицы и т.п.). В данной работе для решения системы уравнений (18) используется метод Крамера. Согласно данному методу каждый из неизвестных токов, входящих в матрицу столбец I (16) будет определяться следующим образом:
(19)
или:
(20)
В последнем выражении: - определитель матрицы системы R; – определители матриц, получаемых на основании матрицы системы R путём замены k-го столбца в матрице системы R на матрицу-столбец свободных членов Е
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
