Компания производит полки для ванных комнат двух размеров - А и В. Агенты по продаже считают, что в неделю на рынке может быть реализовано до 550 полок. Для каждой полки типа А требуется 2 м2 материала, а для полки типа В - 3 м2 материала. Компания может получить до 1200 м2 материала в неделю. Для изготовления одной полки типа А требуется 12 мин. работы оборудования, а для изготовления одной полки типа В- 30 мин. Оборудование можно использовать 160 час. в неделю. Если прибыль от продажи полок типа А составляет 3 долл., а от полок типа В-4 долл., то сколько полок надо выпускать в неделю, чтобы получить максимальную прибыль?
Как изменится производственная программа, если рынок не сможет принимать в неделю более 450 полок? Какова в этом случае будет максимальная прибыль?
Решение
Пусть необходимо произвести полок А – х1, полок В – х2, тогда ограничения
по материалам:2x1+3x2≤1200,по времени:12x1+30x2≤9600,по реализации:x1+x2≤550,
по неотрицательности переменных:x1 ≥ 0,x2 ≥ 0,
по целочисленности переменных:
x1 – целое,
x2 – целое.
Прибыль определяется как F=3x1+4x2, которую необходимо максимизировать.
Математическая модель задачи имеет вид:
F = 3x1+4x2 → max
2x1+3x2≤1200,12x1+30x2≤9600,x1+x2≤550,x1 ≥ 0,x2 ≥ 0,
x1 – целое,
x2 – целое.
Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = 3x1+4x2 при системе ограничений:
2x1+3x2≤1200, (1)12x1+30x2≤9600, (2)x1+x2≤550, (3)x1 ≥ 0, (4)x2 ≥ 0, (5)
Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).
Построим уравнение 2x1+3x2 = 1200 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 400. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 600. Соединяем точку (0;400) с (600;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:2 ∙ 0 + 3 ∙ 0 - 1200 ≤ 0, т.е. 2x1+3x2 - 1200≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.
Построим уравнение 12x1+30x2 = 9600 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 320. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 800. Соединяем точку (0;320) с (800;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:12 ∙ 0 + 30 ∙ 0 - 9600 ≤ 0, т.е
. 12x1+30x2 - 9600≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.
Построим уравнение x1+x2 = 550 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 550. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 550. Соединяем точку (0;550) с (550;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:1 ∙ 0 + 1 ∙ 0 - 550 ≤ 0, т.е. x1+x2 - 550≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Рассмотрим целевую функцию задачи F = 3x1+4x2 → max.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 3x1+4x2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (3;4). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области.
Прямая F(x) = const пересекает область в точке D. Так как точка D получена в результате пересечения прямых (1) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
2x1+3x2=1200x1+x2=550
Решив систему уравнений, получим: x1 = 450, x2 = 100.
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(x) = 3∙450 + 4∙100 = 1750.
Таким образом, для получения максимальной прибыли 1750 долл. необходимо произвести полок А – 450, полок В – 100.
Если рынок не сможет принимать в неделю более 450 полок, то математическая модель задачи примет вид:
F = 3x1+4x2 → max
2x1+3x2≤1200,12x1+30x2≤9600,x1+x2≤550,x1 ≥ 0,x2 ≥ 0,
x1 – целое,
x2 – целое.
Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = 3x1+4x2 при системе ограничений:
2x1+3x2≤1200, (1)12x1+30x2≤9600, (2)x1+x2≤450, (3)x1 ≥ 0, (4)x2 ≥ 0, (5)
Построим область допустимых решений, т.е
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
