Колебания бесконечной струны описываются уравнением utt=uxx

Имеем следующую задачу Коши для волнового уравнения
utt=uxx, -∞< x<+∞, t>0,
(1)
ut=0=φx=0,
(2)
utt=0=ψx=0, при x∈(-∞;0],1, при x∈0;4, 2, при x∈4;8, 0, при x∈(8;+∞).
(3)
Воспользуемся формулой Даламбера для решения задачи Коши для волнового уравнения
ux,t=12φx-t+φx+t+12x-tx+tψsds.
В нашем случае φx=0, решение имеет вид
ux,t=12x-tx+tψsds,
где функция ψx определяется формулой (3).
Обозначим через Ψ(y) первообразную функции ψs2
Ψy=120yψsds=0, при y<0,y2, при 0≤y≤4,y-2, при 4≤y≤86, при y>8.
В качестве нижнего предела взяли 0, поскольку при x<0 функция ψx=0.
Тогда форму струны можно представить в виде
ux,t=Ψx+t-Ψx-t.
Следовательно, результирующая форма струны в момент времени t=2 представляет сумму двух графиков Ψx+2 (на рис