Классифицировать задачи оптимального управления

уникальность
не проверялась

Аа

2452 символов

Высшая математика

Решение задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Классифицировать задачи оптимального управления

Классифицировать задачи оптимального управления .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Вывести краевую задачу принципа максимума для модели из одного уравнения. Вывести краевую задачу принципа максимума для модели из системы ДУ. dxdt=ut, t∈0;2 x(0) = 0, x(2) = 0, J=02xt+u2tdt→min Решение По виду краевых условий эта задача с фиксированными концами. По времени начала и окончания процесса эта задача с фиксирован-ным временем, так как начальный t0 и конечный tf моменты фикси- рованы. По критерию оптимальности это задача Лагранжа: при этом крите- рий имеет вид J=t0tff0x,u,tdt Составим функцию Гамильтона – Понтрягина. H = - f0 + ψ f = - (x + u2) + u ψ, где ψ должна быть решением сопряженного уравнения ψ=-∂H∂x=1. Решая это уравнение, получим ψ = t + C1. Запишем условие максимума Н по u. ∂H∂u=-2u+ψ=0. Отсюда находим u=ψ2 . Подставим функцию u в уравнение системы. x=t+C12. Проинтегрируем это уравнение. x=t24+C1t2+C2 Подставив краевые условия, получим С1 = - 1, С2 = 0. Отсюда находим ψ = t - 1, u=t-12. x=t24-t2 dx1dt=x2t-utdx2dt=x1t+ut x1(0) = 2, x2(0) = 0, |u(t)| ≤ 2, J=03x1t+x2t+2utdt-x23→min

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

По виду ограничения эта задача неклассического типа, так как ограничение задано в форме неравенства.
По виду краевых условий эта задача с фиксированным левым концом.
По времени начала и окончания процесса эта задача с фиксирован-ным временем, так как начальный t0 и конечный tf моменты фикси-
рованы.
По критерию оптимальности это задача Больца: при этом крите-
рий имеет вид
J=g0xt0,xtf,t0,tf+t0tff0x,u,tdt.
Составим функцию Гамильтона – Понтрягина.
H = - f0 + <ψ f> = - (x1 + x2 + 2 u) + ψ1 (x2 – u) + ψ2 (x1 – u),
где ψ должна быть решением сопряженной системы
ψ=-∂H∂x.
ψ1=-(-1+ ψ2) = 1 - ψ2,
ψ2=-(-1+ ψ1) = 1 – ψ1.
Откуда ψ1 = с1 e-t + с2 et + 1, ψ2 = с1 e-t - с2 et + 1.
Условия трансверсальности имеют вид
ψ1(3) = 0, ψ2(3) = 1.
Отсюда получаем
с1=-12e-3 , с2=-12e3 .
Таким образом,
ψ1= - 12e3-t+et-3+ 1,
ψ2= - 12e3-t-et-3+ 1.
Функция Н линейна относительно u, поэтому u = 2, если
-2 – ψ1 + ψ2 > 0 и u = -2, если -2 – ψ1 + ψ2 < 0.
Поскольку
-2 – ψ1 + ψ2 = -2+12e3-t+12et-3-1-12e3-t-1-12e3-t+
+12et-3+1 = -2 + et-3 < 0
при всех t ∈ [0,3], то u = - 2, t ∈ [0,3].
Подставляя в систему, получаем
x1 = Ae-t + B et + 2, x2 = -Ae-t + B et - 2.
Используя краевые условия, получаем A = -1, B=1.
Итак
x1 = -e-t + et + 2, x2 = e-t + et – 2, u = -2.

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу