Как геометрически изображаются комплексные числа

А) Комплексные числа изображаются точками или векторами на комплексной плоскости — координатная плоскость у которой ось абсцисс действительная ось, а ось ординат — мнимая ось.
б) Если z=x+iy, то z=x2+y2 argz=arctgyx или argz=arcctgxy.
в) z=zcosargz+isinargz.
1.
1) z=-23+2i; z=-232+22=12+4=16=4, argz=arctg2-23=arctg-33=-π6;
z=4cos-π6+isin-π6=4cosπ6-isinπ6;z=4e-iπ6.
2) z=-4; z=-42+02=16=4, argz=arctg0-4=arctg0=π;
z=4cosπ+isinπ=4;z=4eiπ
3) z=1-3i; z=12+-32=1+3=4=2, argz=arctg-31=arctg-3=-π3;
z=2cos-π3+isin-π3=2cosπ3-isinπ3;z=2e-iπ3.
4) z=4i; z=02+42=16=4, argz=arcctg04=arcctg0=π2;
z=4cosπ2+isinπ2;z=4eiπ2.
2.
1) z=2cos7π6+isin7π6=2-32-i12=-3-i.
2) z=6cos10π9+isin10π9≈6-0,94-i⋅0,34=-5,64-2,04i.
3) z=3cosπ4+isinπ4=322+i22=322+i322.
4) я так предполагаю, что всё же z=5ei2π3=5cos2π3+isin2π3=5-12+i32=-52+i532; если же
z=5e2π3, то z — действительное число и z=5e2π3≈40,6.
3.
Сначала запишем z1 и z2 в показательной форме:
z1=cosπ4+isinπ4=eiπ4
z2=3cosπ+isinπ=4eiπ
1)
z1⋅z2=cosπ4+isinπ4⋅3cosπ+isinπ=3cosπ4+π+isinπ4+π=3cos5π4+isin5π4;
z1⋅z2=eiπ4⋅4eiπ=4eiπ4+iπ=4ei5π4.
2)
z1z2=cosπ4+isinπ43cosπ+isinπ=13cosπ4-π+isinπ4-π=13cos9π4-π+isin9π4-π=
=13cos5π4+isin5π4;
z1z2=eiπ44eiπ=14eiπ4-iπ=14ei5π4.
3)
z14=cosπ4+isinπ44=cos4⋅π4+isin4⋅π4=cosπ+isinπ;
z14=eiπ44=eiπ4⋅4=eiπ.