К стальному валу постоянного поперечного сечения приложены четыре внешних скручивающих момента: М1, М2, М3, М4. Длины участков стержня: а; b, с, d.
Дано:
Схема №5; М1 = 4,0 кН·м, М2 = 6,0 кН·м, М3 = 1,8 кН·м, М4 = 1,4 кН·м, а = 3,1 м,
b = 3,1 м, с = 2,8 м, d = 2,5 м, [𝜏] = 8 кН/см2 = 80 МПа.
Требуется:
1.Построить эпюру крутящих моментов по длине вала для предложенной в задании схемы.
2.Выбрать рациональное расположение колёс на валу и дальнейшие расчеты проводить для вала с рационально расположенными шкивами.
3.Определить потребные диаметры вала круглого сечения из расчета на прочность и жесткость и выбрать наибольшее из полученных значений, округлив величину диаметра.
4.Сравнить затраты металла для случая круглого и кольцевого сечений.
Решение
1. Определение реактивного момента, в жесткой заделке А.
Обозначим момент в заделке МА и направим его, по часовой стрелки (при взгляде навстречу оси z).
Запишем уравнение равновесия вала. Принимаем правило знаков:
внешние скручивающие моменты (активные моменты, а также реактивный момент в заделке), вращающие вал против хода часовой стрелки (при взгляде на него навстречу оси z), считаем положительными.
Тогда используя условие равновесия можно записать следующее уравнение:
ΣМZ = 0, М4 + М3 + М2 - М1 - МА = 0, отсюда находим:
МА = М4 + М3 + М2 - М1 = 1,4 + 1,8 + 6,0 - 4,0 = 5,2 кН·м.
2. Построение эпюры крутящих моментов
Разбиваем длину стержня на четыре участка как показано на рис.5,а). Границами участков являются те сечения, в которых приложены внешние моменты.
Делаем по одному сечению в произвольном месте каждого из четырех участков стержня.
Сечение 1-1. Рассматриваем равновесие правой отсеченной части.
МZ1 = - М4 = - 1,4 кН·м.
Сечение 2-2.
МZ2 = - (М4 + М3) = - (1,4 + 1,8) = - 3,2 кН·м.
Сечение 3-3.
МZ3 = - (М4 + М3 + М2) = - (1,4 + 1,8 + 6,0) = - 9,2 кН·м.
Сечение 4-4
.
МZ4 = - (М4 + М3 + М2) + М1= - (1,4 + 1,8 + 6,0) + 4,0 = - 5,2 кН·м = МА. По полученным результатам строим эпюру внутренних крутящих моментов рис.5,б).
Анализируя эпюру МZ, приходим к выводу, что более рациональное расположение колес (максимальный момент на валу будет меньше всего) это когда колеса к которым приложены моменты М1 и М2 поменять местами, тогда эпюра моментов примет вид, как показано на рис. 5,в).
В этом случае |МZmax | = |МZ4 | = 5,2 кН·м. Дальнейший расчет ведем для вала с рациональным расположением колес.
3. Определение диаметра вала из условия прочности
Условие прочности при кручении имеет вид: 𝜏max = |МZmax |/Wp ≤ [𝜏], где
Wp = π·d3/16 ≈0,2·d3 - полярный момент круглого сплошного сечения.
Требуемый диаметр вала определяем из условия прочности по формуле:
d≥ 3|Mzmax|0.2∙[τ] = 35,2∙1060.2∙80 = 68,75мм, округляя в большую сторону, принимаем окончательно d = d4 = 70 мм, который имеет участок IV.
Находим диаметры вала на других участках.
d3 ≥ 3|Mz3|0.2∙[τ] = 30,8∙1060.2∙80 = 36,84мм, принимаем d3 = 38 мм,
d2 ≥ 3|Mz2|0.2∙[τ] = 33,2∙1060.2∙80 = 58,48мм, принимаем d2 = 60 мм,
d1 ≥ 3|Mz1|0.2∙[τ] = 31,4∙1060.2∙80 = 44,40мм, принимаем d1 = 45 мм.
Согласно условия принимаем диаметр вала равным d = 70 мм, по всей длине.
4
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
