К стальному ступенчатому валу, имеющему сплошное поперечное сечение, приложены четыре момента. Левый конец вала жестко закреплен в опоре, а правый конец — свободен и его торец имеет угловые перемещения относительно левого конца.
Дано:
Рис.4.VIII, а =1,0м, b =1,0м, с =1,0м, Т1= 5,1 кН·м, Т2 = 2,1 кН·м, Т3= 1,1 кН·м,
Т4 = 0,1 кН·м, [τ] = 30 МПа, E = 2·105 МН/м2.
Требуется:
1) построить эпюру крутящих моментов по длине вала;
2) при заданном значении допускаемого напряжения на кручение определить диаметры d1 и d2 вала из расчета на прочность, полученные значения округлить;
3) построить эпюру действительных напряжений кручения по длине вала;
4) построить эпюру углов закручивания, приняв G≈0,4E.
Рис.4.I.
Решение
Построение эпюры крутящих моментов
Разбиваем длину вала на четыре участка: 0-1, 1-2, 2-3 и 3-4. Применив метод сечений на каждом из участков, определяем моменты внутренних сил МК.
К сечения подходим со стороны свободного конца вала, чтобы не определять специально реактивный момент в сечении жесткой заделки, рассматривая равновесие отсеченной части вала.
Участок 3-4: - МК3-4 + Т4 = 0, ⇒ МК3-4 = Т4 = 0,1 кН·м = const.
Участок 2- 3: - МК2-3 + Т4 - Т3 = 0, ⇒ МК2-3 = Т4 - Т3 = 0,1 - 1,1 = -1,0 кН·м = const.
Участок1- 2: - МК1-2 +Т4 -Т3 -Т2 = 0, ⇒ МК2-3 = Т4 -Т3 -Т2 = -1,0 -2,1= - 3,1 кН·м = const
Участок 0- 1:- МК0-1 +Т4 -Т3 -Т2 +Т1 =0, ⇒ МК0-1 =Т4 -Т3 -Т2 +Т1 =-3,1+5,1 = 2,0 кН·м
По полученным результатам строим эпюру МК ≡ МZ.
2. Определяем диаметры вала из расчета на прочность
. В расчет принимаем крутящий момент, момент наибольший по абсолютной величине (с эпюры МК).
Условие прочности имеет вид: τmax = МКmax/WP ≤ [τ], где WP = π·d3/16 - полярный момент сопротивления круглого сплошного сечения.
Из условия прочности находим требуемый диаметр вала:
d ≥ (16·МКmax/π·[τ])1/3. Для участков 0-1 и 1-2: МКmax = 3,1 кН·м, тогда:
d1 ≥ (16·3,1·103/3,14·30·106)1/3 = 80,8·10 -3 м = 80,8мм.
Для участков 2-3 и 3-4: МКmax = 1,0 кН·м, тогда:
d2 ≥ (16·1,0·103/3,14·30·106)1/3 = 55,4·10 -3 м = 55,4мм. Округляем до ближайшего большего стандартного значения, принимая d1 = 82,0мм, d2 =56,0мм.
3. Построение эпюры действительных напряжений кручения по длине вала.
Находим полярные моменты сопротивлений сечений:
W1P = π·d13/16 = 3,14·(8,2·10-2)3/16 = 108,2·10-6 м3
W2P = π·d23/16 = 3,14·(5,6·10-2)3/16 = 34,5·10-6 м3.
τ0-1 = МК0-1/ W1P = 2,0·103/108,2·10-6 = 18,48·106 Н/м2 = 18,48 МПа.
τ1-2 = МК1-2/ W1P = - 3,1·103/108,2·10-6 = -28,65 МПа.
τ2-3 = МК2-3/ W2P = -1,0·103/34,5·10-6 = - 28,99 МПа.
τ3-4 = МК3-4/ W2P = 0,1·103/34,5·10-6 = 2,90 МПа
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
