К барабану лебёдки 1 приложен момент M(t)

Первый фундаментальный закон механики:
dQ/dt=FE; (1)
Это теорема об изменении количества движения в дифференциальной форме;
Второй фундаментальный закон механики:
dK/dt=ME; (2)
Это теорема об изменении кинетического момента в дифференциальной
форме;
Из этих двух законов получаются следующие дифференциальные уравнения:
m*dV/dt=FE; (3)
J*dω/dt=ME; (4)
Дифференциальные уравнения (3) и (4) выражают основной закон механики
для поступательного и вращательного движения соответственно.
Получим дифференциальное уравнение движения системы, используя
общие теоремы динамики.
Мысленно разрежем нить, связывающий лебёдку 1 и каток 2 и рассмотрим
движение каждого из тел в отдельности . Действие нити заменим её
реакцией - силой натяжения нити, которое направляем вдоль нити от тела.
Каток 2 совершает плоскопараллельное движение. МЦС катка 2 находится в
точке P- точке касания с неподвижной поверхностью. К катку 2 приложены
сила тяжести P2, натяжение троса T, нормальная реакция поверхности N2,
сила трения F2тр.
Лебёдка 1 совершает вращательное движение. На лебёдку действуют: сила
тяжести P1, реакция оси N1, сила натяжения троса T и вращающий момент M
Для тел 1 и 2 системы записываем уравнение (4);
Для тела 2 ещё записываем уравнение (3);
В результате получим систему уравнений, описывающих движение заданной
механической системы.
Для лебёдки 1:
JA*dω1/dt=M-T*R1; (5)
Для катка 2:
JB*dω2/dt=T*r2-F2тр*R2; (6)
m2*dVB/dt=T+F2тр-P2*sinα; (7)
Учтем выражения для моментов инерции тел:
JA=0.5*m1*R12=0.5*1*0.15*0.15=0.01125кг*м2;
JB=m2*ρ22=2*0.4*0.4=0.32кг*м2;
Величины VB, ω2 выражаем через угловую скорость вращения лебёдки ω1:
ω1*R1=ω2*(R2+r2);
Отсюда:
ω2=ω1*R1/(R2+r2)=ω1*0.15/0.7=0.214*ω1;
VB=ω2*R2=0.214*ω1*0.5=0.107*ω1;
Преобразуем систему уравнений:
Для лебёдки 1:
0.01125*dω1/dt=1+2*t2-T*0.15;
Для катка 2:
0.06848*dω1/dt=T*0.2-F2тр*0.5;
0.214*dω1/dt=T+F2тр-9.81;
В итоге получили 3 уравнения:
0.01125*dω1/dt=1+2*t2-T*0.15; (8)
0.137*dω1/dt=T*0.4-F2тр; (9)
0.214*dω1/dt=T+F2тр-9.81; (10)
Складываем (9) и (10):
0.351*dω1/dt=1.4*T-9.81; (11)
0.104*dω1/dt=9.33+18.66*t2-T*1.4; (8’)
Складываем (8’) и (11):
0.455*dω1/dt=9.33+18.66*t2-9.81; (12)
После преобразования уравнения (12) получаем дифференциальное
уравнение движения системы:
dω1/dt=φ1=41*t2-1; (13)
Уравнение (13) дважды интегрируем:
φ1=13.667*t3-t+C1; (14)
φ1=3.417*t4-0.5*t2+C1*t+C2; (15)
Константы интегрирования C1, C2 определим, подставив в уравнения (14),
(15) начальные условия