Известны - результаты независимых наблюдений над случайной величиной Х.
Сгруппировать эти данные в интервальную таблицу, подобрав длину интервала.
Построить гистограмму, полигон частот и эмпирическую функцию распределения.
Найти несмещённые оценки для математического ожидания и дисперсии случайной величины Х. Указать моду М0.
По критерию χ2 (Пирсона) проверить гипотезу о том, что случайная величина Х имеет нормальный закон распределения.
Найти интервальные оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины Х с уровнем доверия γ=0,9.
85; 76; 80; 84; 88; 89; 91; 88; 84; 85; 75; 82; 86; 89; 88; 84; 90; 89; 85; 91; 87; 81; 78; 85; 88; 91; 89; 87; 74; 81; 87; 90; 88; 86; 76; 84; 88; 77; 82; 85; 84; 74; 80; 84; 91; 93; 90; 88; 87; 77; 83; 89; 89; 91; 92; 88; 94; 90; 88; 81; 83; 89; 94; 96; 88; 95; 99; 90; 86; 78; 81; 86; 90; 92; 93; 90; 83; 79; 86; 90; 79; 82; 87; 85; 91; 97; 88; 85; 87; 90; 89; 95; 89; 84; 91; 89; 90; 98; 91; 88.
Решение
Объем выборки n = 100.
Размах варьирования: R=xmax –xmin= 99 - 74 = 25. Длину интервала (шаг) определим следующим образом:
H=R/5=25/5=5.
Начало первого интервала – xmin = 74.
Объединим в таблицу интервальный и дискретный вариационные ряды:
№ границы интервала середина интервала
хi1 частота интервала
ni
относительная частота
wi
Плотность относ. частоты
wi/h
1 74 – 79 76,5 11 0,11 0,022
2 79 – 84 81,5 20 0,2 0,04
3 84 – 89 86,5 39 0,39 0,078
4 89 – 94 91,5 24 0,24 0,048
5 94 – 99 96,5 6 0,06 0,012
∑
100 1
2.
Чтобы построить эмпирическую функцию распределения, вычислим накопленную относительную частоту:
№ середина интервала
хi1 относительная частота
wi
накопл. относит. частота
wi*
1 76,5 0,11 0,11
2 81,5 0, 2 0,31
3 86,5 0,39 0,70
4 91,5 0,24 0,94
5 96,5 0,06 1
Эмпирическая функция распределения имеет вид:
3.
Найдем несмещённые оценки для математического ожидания и дисперсии случайной величины Х.
№ середина интервала
хi1 частота
ni
хi1· ni
(хi1)2· ni
1 76,5 11 841,5 64374,75
2 81,5 20 1630 132845
3 86,5 39 3373,5 291807,75
4 91,5 24 2196 200934
5 96,5 6 579 55873,5
∑
100 8620 745835
;
;
.
Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии, а исправленная дисперсия –несмещенной оценкой.
Несмещенная оценка дисперсии:
Среднее квадратическое отклонение
.
Мода – варианта, имеющая наибольшую частоту
. В нашем случае Мо = 88.
4.
Проверим гипотезу о нормальном распределении СВ при помощи критерия Пирсона.
Найдем теоретические частоты:
№ хi xi+1 zi
zi+1 Ф(zi) Ф(zi+1) рi ni’
1 74 79 -2,3 -1,36 -0,4893 -0,4131 0,0762 7,62
2 79 84 -1,36 -0,42 -0,4131 -0,1628 0,2503 25,03
3 84 89 -0,42 0,53 -0,1628 0,2019 0,3647 36,47
4 89 94 0,53 1,47 0,2019 0,4292 0,2273 22,73
5 94 99 1,47 2,42 0,4292 0,4922 0,063 6,3
Для вычисления значений zi использовали формулы , где ; s = 5,3.
рi = Ф(zi+1) - Ф(zi), где - интегральная функция Муавра-Лапласа.
Теоретические частоты находятся по формуле: ni’=n·рi .
Критерий Пирсона:
ni’ ni
ni- ni’
7,62 11 3,38 1,5
25,03 20 -5,03 1,01
36,47 39 2,53 0,18
22,73 24 1,27 0,07
6,3 6 -0,3 0,01
χ2расч.= 2,77
Число степеней свободы k = l – r -1, где l = 5 (число интервалов), r = 2 (для нормального распределения).
В нашем случае k = 2
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
