Известны координаты в прямоугольной системе координат трех точек A-3

3.1. Найдем координаты векторов AB, AC:
AB=x2-x1;y2-y1=(14-(-3);4-(-2))=17;6;
AC=6--3;8--2=9;10.
Найдем длины векторов AB, AC:
AB=x2+y2=172+62=289+36=325=513.
AC=92+102=81+100=181.
3.2. Вычислим скалярное произведение векторов AB, AC:
AB∙AC=x1∙x2+y1∙y2=17∙9+6∙10=153+60=213.
Угол φ между векторами AB и AC найдем по формуле:
cosφ =AB∙ACAB∙AC. (1)
В п.3.1. найдены длины векторов: AB=513., AC=181., в п.3.2. –скалярное произведение векторов: AB∙AC=213. Подставим найденные значения в формулу (1) и вычислим косинус угла φ:
cosφ =213513∙181=21352353≈0,88.
φ=arccos (0,88)≈28,57o.
3.3. Вычислим векторное произведение векторов AB, AC по формуле:
AB,AC=xAByABxACyAC.
Подставим в формулу координаты векторов AB и AC:
AB,AC=176910=170-54=116.
Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения:
S∆ABC=12AB,AC=12∙116=58 кв.ед.
3.4 . Вектора коллинеарны, если отношения их координат равны между собой: b=n∙a, т. е. AB+β∙AC=n∙BC.
Координаты векторов AB+β∙AC и BC равны:
AB+β∙AC=17;6+β∙9;10=17+9β;6+10β.
BC= (6-14;8-4)=-8;4.
Определять отношение между координатами векторов (n) будем по формуле:
n=AB+β∙ACBC.
Таким образом,получаем уравнение:
n=17+9β-8=6+10β4;
Вычислим значение β:
17+9β-2=6+10β1;
17+9β=-2∙6+10β;
17+9β=-12-20β;
9β+20β=-12-17;
29β=-29;
β=-1.
Найдем координаты вектора AB+β∙AC при β=-1:
AB+β∙AC=17;6+(-1)∙9;10=8;-4
Проверим, коллинеарны ли векторы AB-AC и BC:
n=AB-ACBC=8-8=-44=-1.
Вектора AB+β∙AC и BC коллинеарны при β=-1.
3.5