Изучается зависимость себестоимости единицы изделия (Y, тыс.руб.) от величины выпуска продукции (Х, тыс.шт.) по группам предприятий за отчетный период. Экономист обследовал 5 предприятий и получил следующие данные:
Таблица 1 – Исходные данные
X 2 3 4 5 6
Y 1,9 1,7 1,8 1,6 1,4
1. Постройте диаграмму рассеяния.
2. Постройте уравнение линейной регрессии.
3. Постройте доверительные интервалы для коэффициентов регрессии (=0,05).
4. Проверьте гипотезу о том, что b=4,5.
5. Проверьте гипотезу о значимости коэффициентов регрессии.
6. Оцените качество построенной модели с помощью дисперсионного анализа.
7. Найдите коэффициенты детерминации и корреляции.
8. Дайте интерпретацию модели.
9. Сделайте прогноз.
10. Постройте уравнение степенной модели.
11. Оцените качество степенной модели с помощью индекса корреляции, средней ошибки аппроксимации.
12. Найдите коэффициент детерминации, дайте его интерпретацию.
13. Найдите коэффициенты эластичности для каждой модели и дайте их интерпретацию.
14. Проведите сравнительный анализ обоих моделей и сделайте вывод о том, какая из моделей лучше всего аппроксимирует исходные данные.
Решение
1. На рисунке 1 представим диаграмму рассеяния.
Рисунок 1. Диаграмма рассеяния
На основе полученной диаграммы рассеяния можно заключить, что с увеличением выпуска продукции себестоимость единицы изделия снижается. Можно предположить наличие линейной зависимости себестоимости единицы продукции от величины выпуска продукции.
2. Построим уравнение линейной регрессии.
Рассчитаем коэффициенты линейного уравнения регрессии методом наименьших квадратов. Для этого составляем систему нормальных уравнений и находим ее решение:
a·n + b·∑x = ∑y
a·∑x + b·∑x2 = ∑y·x
Составим расчетную таблицу 2.
Таблица 2 – Расчет параметров уравнения линейной регресии
x y x2 y2 x*y
2 1,9 4 3,61 3,8
3 1,7 9 2,89 5,1
4 1,8 16 3,24 7,2
5 1,6 25 2,56 8
6 1,4 36 1,96 8,4
∑20 8,4 90 14,26 32,5
Для наших данных система уравнений имеет вид
5a + 20b = 8,4
20a + 90b = 32,5
Домножим уравнение (1) системы на (-4), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.
-20a -80 b = -33,6
20a + 90b = 32,5
Получаем:
10*b = -1,1
Откуда b = -0,11
Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):
5a + 20b = 8,4
5a + 20*(-0,11) = 8,4
5a = 10,6
a = 2,12
Уравнение линейной регрессии принимает вид:
y = -0,11 x + 2,12
Рассчитаем параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние определим по формулам:
x=xin
y=yin
xy=xiyin
Выборочные дисперсии определим по формулам:
S2x=xi2n-x2
S2y=yi2n-y2
Среднеквадратические отклонения определим по формулам:
Sx=S2(x)
Sy=S2(y)
x=205=4
y=8,45=1,68
xy=32,55=6,5
S2x=905-42=2
S2y=14,265-1,682=0,0296
Sx=2=1,414
Sy=0,0296=0,172
3. Построим доверительные интервалы для коэффициентов регрессии (=0,05).
Для проверки статистической значимость параметров уравнения регрессии с надежностью 0,95 заполним расчетную таблицу 3.
Таблица 3 – Расчетная таблица
x y y(x) (yi-ycp)2 (y-y(x))2 |y - yx|:y
2 1,9 1,9 0,0484 0 0
3 1,7 1,79 0,0004 0,0081 0,0529
4 1,8 1,68 0,0144 0,0144 0,0667
5 1,6 1,57 0,0064 0,0009 0,0188
6 1,4 1,46 0,0784 0,0036 0,0429
∑20 8,4 8,4 0,148 0,027 0,181
Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:
S2=∑(yi-yx)2n-m-1
Подставим имеющиеся данные в формулу и произведем расчет.
S2=0,0275-1-1=0,009
S2 = 0,009 - необъясненная дисперсия или дисперсия ошибки регрессии (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).
Стандартная ошибка оценки рассчитывается по формуле:
S=S2=0,009=0,0949
Стандартная ошибка регрессии рассматривается в качестве меры разброса данных наблюдений от смоделированных значений. Чем меньше значение стандартной ошибки регрессии, тем качество модели выше.
Sa - стандартное отклонение случайной величины a, рассчитывается по формуле:
Sa=S*∑x2nS(x)
Подставим имеющиеся данные в формулу и произведем расчет.
Sa=0,0949*905*1,414=0,127
Sb - стандартное отклонение случайной величины b, рассчитывается по формуле:
Sb=Sn*S(x)
Подставим имеющиеся данные в формулу и произведем расчет.
Sb=0,09495*1,414=0,03
Определим доверительные интервалы коэффициентов уравнения регрессии, которые с надежность 95% будут следующими (tтабл=3,1825):
(a - tтабл*Sa; a + tтабл*Sa)
(2,12-3,1825*0,127; 2,12+3,1825*0,127)
(1,716; 2,524)
(b - t табл·Sb; b + tтаблS·b)
(-0,11-3,1825*0,03; -0,11+3,1825*0,03)
(-0,205; -0,015)
4. Проверим гипотезу о том, что b=4,5.
Доверительные интервалы коэффициента b уравнения регрессии составляют от -0,205 до -0,015 с надежностью 95%, следовательно, гипотеза о равенстве коэффициента b=4,5 отвергается.
5
. Проверим гипотезу о значимости коэффициентов регрессии.
Проверим гипотезу H0 о равенстве отдельных коэффициентов регрессии нулю (при альтернативе H1 не равно) на уровне значимости α=0.01.
H0: b = 0, то есть между переменными x и y отсутствует линейная взаимосвязь в генеральной совокупности;
H1: b ≠ 0, то есть между переменными x и y есть линейная взаимосвязь в генеральной совокупности.
В случае если основная гипотеза окажется неверной, мы принимаем альтернативную. Для проверки этой гипотезы используется t-критерий Стьюдента.
Найденное по данным наблюдений значение t-критерия (его еще называют наблюдаемым или фактическим) сравнивается с табличным (критическим) значением, определяемым по таблицам распределения Стьюдента (которые обычно приводятся в конце учебников и практикумов по статистике или эконометрике).
Табличное значение определяется в зависимости от уровня значимости (α) и числа степеней свободы, которое в случае линейной парной регрессии равно (n-2), n-число наблюдений.
Если фактическое значение t-критерия больше табличного (по модулю), то основную гипотезу отвергают и считают, что с вероятностью (1-α) параметр или статистическая характеристика в генеральной совокупности значимо отличается от нуля.
Если фактическое значение t-критерия меньше табличного (по модулю), то нет оснований отвергать основную гипотезу, т.е. параметр или статистическая характеристика в генеральной совокупности незначимо отличается от нуля при уровне значимости α.
tкрит(n-m-1;α) = tкрит(3;0,05) = 3,1825
tb=bSb=-0,110,03=3,67
Поскольку 3,67 > 3,1825, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).
ta=aSa=2,120,127=16,69
Поскольку 16,69 > 3,1825, то статистическая значимость коэффициента регрессии а подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).
6. Оценим качество построенной модели с помощью дисперсионного анализа.
При анализе качества модели регрессии используется теорема о разложении дисперсии, согласно которой общая дисперсия результативного признака может быть разложена на две составляющие – объясненную и необъясненную уравнением регрессии дисперсии. Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной:
∑(yi - ycp)2 = ∑(y(x) - ycp)2 + ∑(y - y(x))2
где ∑(yi - ycp)2 - общая сумма квадратов отклонений;
∑(y(x) - ycp)2 - сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией («объясненная» или «факторная»);
∑(y - y(x))2 - остаточная сумма квадратов отклонений.
Источник вариации Сумма квадратов Число степеней свободы Дисперсия на 1 степень свободы F-критерий
Модель (объясненная) 0,121 1 0,121 13,444
Остаточная 0,027 3 0,009 1
Общая 0,15 5-1
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=3, Fтабл = 10,1. Поскольку фактическое значение F > Fтабл, то найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна.
7. Найдем коэффициент корреляции по формуле:
ryx=xy - x*yS(x)*S(y)
Подставим имеющиеся данные в формулу и произведем расчет.
ryx=6,5-4*1,681,414*0,172=-0,904
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными)
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
