Изучается зависимость материалоёмкости продукции у (количество материалов на единицу продукции) от размера предприятия х

Корреляционное поле между материалоёмкостью продукции у (количество материалов на единицу продукции) и размером предприятия х (выпуск продукции, тыс. ед.) приведено на рисунке 1.
Рисунок 1 – Корреляционное поле
На основании построенного корреляционного поля можно предположить о наличии обратной степенной связи вида: y = a ×xb, но не исключено, что зависимость может качественнее описываться иной функцией.
Рассмотрим линейную модель парной регрессии вида: y = a +bx.
Оценку параметров линейной парной регрессии осуществим с помощью пакета анализа Microsoft Excel. Выполняем следующие этапы «Данные → Анализ данных → Регрессия» и заполняем необходимые поля диалогового меню. Результаты представлены на рисунке 2.
Рисунок 2 – Вывод итогов для линейной регрессии
Таким образом, уравнение парной линейной регрессии, описывающее зависимость у (количество материалов на единицу продукции) от размера предприятия х (выпуск продукции, тыс. ед.) имеет вид: y=7,434-0,007×x.
Уравнение показывает, что при увеличении размера предприятия, то есть выпуска продукции на 1 тыс. ед. материалоемкость продукции снижается в среднем на 0,007 единиц материалов на единицу продукции.
Коэффициенты корреляции и детерминации определены с помощью пакета анализа «Регрессия» и представлены в таблице регрессионного анализа.
Коэффициент корреляции:
rxy=0,786.
Значение линейного коэффициента парной корреляции близко к 1, значит между переменными наблюдается высокая корреляционная связь.
Коэффициент детерминации:
R2=0,618.
Коэффициент детерминации показывает среднее качество подбора уравнения регрессии, так как 61,8% вариации материалоемкости продукции объясняется вариацией выпуска продукции. Остальные 38,2% приходятся на факторы, не учтенные в модели.
Определим средний коэффициент эластичности, предварительно определив с помощью встроенной функции Excel «СРЗНАЧ» средние значения переменных:
Э=b×xy=-0,007×3325,13=-0,449.
При увеличении (уменьшении) фактора х на 1% результат у уменьшается (увеличивается) на 0,449% в среднем по выборке.
Определим среднюю ошибку аппроксимации:
Ai=1ny-yy×100% =1,6716110×100%=16,716%.
Значение средней ошибки аппроксимации показывает, что в среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 16,716%, ошибка недопустимая (более 10%), следовательно, уравнение неадекватно по данному критерию.
Проверку статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии проведем с помощью t – критерия Стьюдента.
Выдвигаем гипотезы:
H0: a=0 – коэффициент статистически не значим;
H1: a≠0 – коэффициент статистически значим;
H0: b=0 – коэффициент статистически не значим;
H1: b≠0 – коэффициент статистически значим.
Фактические значение t – статистики Стьюдента определены с помощью пакета анализа «Регрессия» (рисунок 2):
|t a|=9,942; |tb|=3,594.
На следующем этапе находим табличное значение t – критерия Стьюдента по таблицам распределения Стьюдента или пользуясь встроенной функцией Excel «СТЬЮДРАСПОБР»:
tкритn-m-1;a=tкрит10-1-1=8;0,05=2,306.
Таким образом, поскольку |t a|=9,942>tкрит=2,306, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается и |tb|=3,594> tкрит=2,306,значит статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается.
Проверку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F – критерия Фишера.
Выдвигаем гипотезы:
H0: R2=0 – уравнение статистически не значимо;
H1: R2≠0 – уравнение статистически значимо.
Фактическое значение F – критерия Фишера определено с помощью пакета анализа «Регрессия» (рисунок 2): Fфакт=12,919.
Поскольку табличное значение F распределения Фишера F0,05;1;8=5,318, найденное с помощью функции Excel «FРАСПОБР», меньше расчетного, следовательно, гипотеза о незначимости коэффициента детерминации должна быть отвергнута. Коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна). Таким образом, на основе всех рассчитанных коэффициентов можно сделать вывод о том, что полученное линейное уравнение статистически значимо.
Рассмотрим степенную модель парной регрессии вида: y = a ×xb
Так как степенная модель является нелинейно необходимо выполнить следующее преобразование: x=Lnx, y=Ln(y). Для определения параметров уравнения степенной регрессии составим вспомогательную таблицу 2, в которой осуществим преобразование, используя встроенную функцию Excel «LN».
Таблица 2
Преобразованные исходные данные
№ Lnx
Ln(y)
1 4,61 2,20
2 5,30 1,79
3 5,70 1,61
4 5,99 1,39
5 6,21 1,31
6 6,40 1,28
7 6,55 1,25
8 5,01 1,79
9 4,79 1,95
10 5,52 1,25
Оценку параметров степенной парной регрессии, преобразованной до линейного вида, осуществим с помощью пакета анализа Microsoft Excel. Выполняем следующие этапы «Данные → Анализ данных → Регрессия» и заполняем необходимые поля диалогового меню. Результаты представлены на рисунке 3.
Рисунок 3 – Вывод итогов для степенной регрессии
Осуществим потенцирование: a=ea=e4,085=59,451.
Таким образом, уравнение парной степенной регрессии имеет вид:
y=59,451×x(-0,446).
Уравнение показывает, что при увеличении размера предприятия, то есть выпуска продукции на 1 % материалоемкость продукции снижается в среднем на 0,446%. единиц материалов на единицу продукции.
Так как модель является нелинейной для оценки силы связи необходимо определить индекс корреляции и индекс детерминации, для чего строим вспомогательную таблицу 3.

Таблица 3
Вспомогательные расчеты
№ y
y-y
y-y2
y-y2
A
1 7,610 1,390 1,933 14,977 15,448
2 5,585 0,415 0,173 0,757 6,924
3 4,660 0,340 0,116 0,017 6,801
4 4,098 -0,098 0,010 1,277 2,459
5 3,710 -0,010 0,000 2,045 0,264
6 3,420 0,180 0,032 2,341 5,005
7 3,192 0,308 0,095 2,657 8,789
8 6,350 -0,350 0,122 0,757 5,830
9 7,015 -0,015 0,000 3,497 0,212
10 5,055 -1,555 2,418 2,657 44,430
сумма 50,694 0,606 4,899 30,981 96,163
Индекс корреляции:
rxy=1-4,89930,981=0,918.
Значение индекса корреляции близко к 1, значит между переменными наблюдается весьма высокая корреляционная связь.
Коэффициент детерминации:
R2=rxy2=0,9182=0,842.
Коэффициент детерминации показывает хорошее качество подбора уравнения регрессии, так как 84,2% вариации материалоемкости продукции объясняется вариацией выпуска продукции . Остальные 15,8% приходятся на факторы, не учтенные в модели.
Определим средний коэффициент эластичности, который для степенной функции представляет собой коэффициент регрессии b:
Э=b=-0,446.
При увеличении (уменьшении) фактора х на 1% результат у уменьшается (увеличивается) на 0,446% в среднем по выборке.
Определим среднюю ошибку аппроксимации:
Ai=96,16310=9,616%.
Значение средней ошибки аппроксимации показывает, что в среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 9,616%, ошибка допустимая (менее 10%), следовательно, уравнение адекватно по данному критерию.
Проверку статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии проведем с помощью t – критерия Стьюдента.
Выдвигаем гипотезы:
H0: a=0 – коэффициент статистически не значим;
H1: a≠0 – коэффициент статистически значим;
H0: b=0 – коэффициент статистически не значим;
H1: b≠0 – коэффициент статистически значим.
Фактические значение t – статистики Стьюдента определены с помощью пакета анализа «Регрессия» (рисунок 3):
|t a|=9,637; |tb|=5,945.
На следующем этапе находим табличное значение t – критерия Стьюдента по таблицам распределения Стьюдента или пользуясь встроенной функцией Excel «СТЬЮДРАСПОБР»:
tкритn-m-1;a=tкрит10-1-1=8;0,05=2,306.
Таким образом, поскольку |t a|=9,637>tкрит=2,306, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается и |tb|=5,945> tкрит=2,306,значит статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается.
Проверку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F – критерия Фишера.
Выдвигаем гипотезы:
H0: R2=0 – уравнение статистически не значимо;
H1: R2≠0 – уравнение статистически значимо.
Фактическое значение F – критерия Фишера определено с помощью пакета анализа «Регрессия» (рисунок 3): Fфакт=35,341.
Поскольку табличное значение F распределения Фишера F0,05;1;8=5,318, найденное с помощью функции Excel «FРАСПОБР», меньше расчетного, следовательно, гипотеза о незначимости коэффициента детерминации должна быть отвергнута. Коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна). Таким образом, на основе всех рассчитанных коэффициентов можно сделать вывод о том, что полученное степенное уравнение статистически значимо.
Рассмотрим обратную модель парной регрессии вида: y = 1a+b×x.
Так как обратная модель является нелинейно необходимо ввести замену переменной: y=1/y. Для определения параметров уравнения обратной регрессии составим вспомогательную таблицу 4.
Таблица 4
Преобразованные исходные данные
№ x
1/y
1 100,00 0,11
2 200,00 0,17
3 300,00 0,20
4 400,00 0,25
5 500,00 0,27
6 600,00 0,28
7 700,00 0,29
8 150,00 0,17
9 120,00 0,14
10 250,00 0,29
Оценку параметров обратной парной регрессии, преобразованной до линейного вида, осуществим с помощью пакета анализа Microsoft Excel. Выполняем следующие этапы «Данные → Анализ данных → Регрессия» и заполняем необходимые поля диалогового меню. Результаты представлены на рисунке 4.
Рисунок 4 – Вывод итогов для обратной регрессии
Таким образом, уравнение обратной степенной регрессии имеет вид:
y=10,129+0,00026x.
Так как модель является нелинейной для оценки силы связи необходимо определить индекс корреляции и индекс детерминации, для чего строим вспомогательную таблицу 5.

Таблица 5
Вспомогательные расчеты
№ y
y-y
y-y2
y-y2
A
1 6,449 2,551 6,508 14,977 28,344
2 5,519 0,481 0,231 0,757 8,015
3 4,824 0,176 0,031 0,017 3,529
4 4,284 -0,284 0,080 1,277 7,092
5 3,852 -0,152 0,023 2,045 4,122
6 3,500 0,100 0,010 2,341 2,773
7 3,207 0,293 0,086 2,657 8,374
8 5,948 0,052 0,003 0,757 0,868
9 6,239 0,761 0,579 3,497 10,875
10 5,148 -1,648 2,716 2,657 47,083
сумма 48,970 2,330 10,267 30,981 121,075
Индекс корреляции:
rxy=1-10,26730,981=0,818.
Значение индекса корреляции близко к 1, значит между переменными наблюдается высокая корреляционная связь.
Коэффициент детерминации:
R2=rxy2=0,8182=0,669.
Коэффициент детерминации показывает среднее качество подбора уравнения регрессии, так как 66,9% вариации материалоемкости продукции объясняется вариацией выпуска продукции. Остальные 33,1% приходятся на факторы, не учтенные в модели.
Определим средний коэффициент эластичности:
Э=-b×xa+b×x=-0,00026×3320,129+0,00026×332=-0,402.
При увеличении (уменьшении) фактора х на 1% результат у уменьшается (увеличивается) на 0,402% в среднем по выборке.
Определим среднюю ошибку аппроксимации:
Ai=121,07510=12,108%.
Значение средней ошибки аппроксимации показывает, что в среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 12,108%, ошибка недопустимая (более 10%), следовательно, уравнение неадекватно по данному критерию.
Проверку статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии проведем с помощью t – критерия Стьюдента.
Выдвигаем гипотезы:
H0: a=0 – коэффициент статистически не значим;
H1: a≠0 – коэффициент статистически значим;
H0: b=0 – коэффициент статистически не значим;
H1: b≠0 – коэффициент статистически значим.
Фактические значение t – статистики Стьюдента определены с помощью пакета анализа «Регрессия» (рисунок 4):
|t a|=5,418; |tb|=4,251.
На следующем этапе находим табличное значение t – критерия Стьюдента по таблицам распределения Стьюдента или пользуясь встроенной функцией Excel «СТЬЮДРАСПОБР»:
tкритn-m-1;a=tкрит10-1-1=8;0,05=2,306.
Таким образом, поскольку |t a|=5,418>tкрит=2,306, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается и |tb|=4,251> tкрит=2,306,значит статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается.
Проверку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F – критерия Фишера.
Выдвигаем гипотезы:
H0: R2=0 – уравнение статистически не значимо;
H1: R2≠0 – уравнение статистически значимо.
Фактическое значение F – критерия Фишера определено с помощью пакета анализа «Регрессия» (рисунок 4): Fфакт=18,074.
Поскольку табличное значение F распределения Фишера F0,05;1;8=5,318, найденное с помощью функции Excel «FРАСПОБР», меньше расчетного, следовательно, гипотеза о незначимости коэффициента детерминации должна быть отвергнута