Из генеральной совокупности извлечена выборка. Данные наблюдений сведены в группы и представлены в виде дискретного вариационного ряда, где первая строка – середины частичных интервалов xi , вторая строка – соответствующие им частоты ni. Требуется провести статистическую обработку экспериментальных данных по следующей схеме:
1) Построить выборочную (эмпирическую) функцию распределения F*(x).
2) Построить полигон и гистограмму относительных частот.
3) Найти числовые характеристики выборки: выборочную среднюю xв, выборочное среднее квадратическое отклонение σв , исправленное среднее квадратическое отклонение S.
4) Сделать предварительный выбор закона распределения по виду гистограммы и полигона относительных частот.
5) Проверить с помощью критерия согласия Пирсона гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокупности при уровне значимости 0,05.
6) В случае принятия гипотезы найти интервальные оценки параметров нормального распределения (доверительную вероятность принять равной 1 0,95). Вычисления проводить с точностью до 0,001.
xi
-4 -2 0 2 4 6 8 10
ni
3 8 15 24 26 11 9 4
Решение
1) n0=ni=3+8+15+24+26+11+9+4=100
Найдем относительные частоты (wi) для каждого xi:
xi
-4 -2 0 2 4 6 8 10
ni
3 8 15 24 26 11 9 4
wi=nin0
0,03 0,08 0,15 0,24 0,26 0,11 0,09 0,04
Выборочная (эмпирическая) функция распределения F*(x) имеет вид:
F*x=00,030,110,260,50,760,870,961 x≤-4-4<x≤-2-2<x≤00<x≤22<x≤44<x≤66<x≤88<x≤10x>10
Построим F*x:
2) Полигон относительных частот – это ломаная, отрезки которой соединяют точки (xi;wi). Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты xi, а на оси ординат – соответствующие им относительные частоты wi. Точки (xi;wi) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.
Гистограмма относительных частот – это фигура, состоящая из прямоугольников, ширина которых равна длинам частичных интервалов (h=2), а высота – соответствующим относительным частотам:
3) xв=1n0*xi*ni=1100*-12-16+0+48+104+66+72+40=3,02
Dв=1n0(xi-xв)2*ni=10,52
σв=Dв=10,52≈3,243
S=n0n0-1*σв=10099*3,243≈3,26
4) Вид полигона и гистограммы относительных частот напоминает нормальную кривую.
Значит мы имеем нормальный закон распределения генеральной совокупности.
5) Выдвинем гипотезу H: распределение генеральной совокупности X подчинено
нормальному закону с параметрами xв=3,02 и σв=4,432
. Проверим эту гипотезу по
критерию Пирсона при уровне значимости α = 0,05:
Χ2=(wi-wi*)2wi*, где wi*=N*hσвφi – теоретические частоты, h=2, N=1.
Вычислим теоретические частоты:
i
xi
ui
φi
wi*
1 -4 -2.1644 0,0379 0.0234
2 -2 -1.5478 0,12 0.074
3 0 -0.9311 0,2565 0.158
4 2 -0.3145 0,379 0.234
5 4 0.3022 0,3802 0.234
6 6 0.9188 0,2613 0.161
7 8 1.5354 0,1219 0.0752
8 10 2.1521 0,0387 0.0239
Сравним эмпирические и теоретические частоты. Составим расчетную таблицу, из которой найдем наблюдаемое значение критерия:
i
wi
wi
Χ2
1 0.03 0.02337 0.00188
2 0.08 0.074 0.000487
3 0.15 0.1582 0.000422
4 0.24 0.2337 0.00017
5 0.26 0.2344 0.00279
6 0.11 0.1611 0.0162
7 0.09 0.07517 0.00293
8 0.04 0.02386 0.0109
Сумма: 0.0358
Определим границу критической области
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
