Из генеральной совокупности извлечена выборка

Построить выборочную (эмпирическую) функцию распределения F*(x)
Надем относительные частоты wi
xi ni wi
-4 3 0,03
-2 8 0,08
0 15 0,15
2 24 0,24
4 26 0,26
6 11 0,11
8 9 0,09
10 4 0,04
  100  
F*x=0 x<-40,03 -4≤x<-20,11 -2≤x<00,26 0≤x<20,50 2≤x<40,76 4≤x<60,87 6≤x<80,96 8≤x<101 x≥10
2) Построить полигон и гистограмму относительных частот
полигон относительнах частот
гистограмма относительных частот
3) Найти числовые характеристики выборки: выборочную среднюю xв , выборочное среднее квадратическое отклонение в , исправленное среднее квадратическое отклонение S .
Выборочная средняя
xв=1nxini
xi ni xini
-4 3 -12
-2 8 -16
0 15 0
2 24 48
4 26 104
6 11 66
8 9 72
10 4 40
сумма 100 302
xв=1100∙302=3,02
Выборочная дисперсия
D=1nxi-xв2ni
xi ni xi-xв (xi-xв)^2 (xi-xв)^2*ni
-4 3 -7,02 49,280 147,841
-2 8 -5,02 25,200 201,603
0 15 -3,02 9,120 136,806
2 24 -1,02 1,040 24,970
4 26 0,98 0,960 24,970
6 11 2,98 8,880 97,684
8 9 4,98 24,800 223,204
10 4 6,98 48,720 194,882
сумма 100     1051,960
D=1100∙1051,96=10,520
Исправленная дисперсия
S2=nn-1D=10099∙10,520=10,626
Выборочное среднее квадратичное отклонение
σ=D=10,520=3,243
Исправленное среднее квадратичное отклонение
S=3,260
4) Сделать предварительный выбор закона распределения по виду гистограммы и полигона относительных частот.
По виду гистограммы и полигона относительных частот можно предположить, что генеральная совокупность имеет нормальный закон распределения
5) Проверить с помощью критерия согласия Пирсона гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокупности при уровне значимости 0,05.
Расчитаем теоретические частоты по формуле
ni'=nhsφui ui=xi-xвS h=2 φu=12πe-u22
xi ui ф(u) ni ni' (ni-ni')^2/ni'
-4 -2,153 0,039 3 2,409 0,145
-2 -1,540 0,122 8 7,480 0,036
0 -0,926 0,260 15 15,938 0,055
2 -0,313 0,380 24 23,309 0,020
4 0,301 0,381 26 23,397 0,290
6 0,914 0,263 11 16,119 1,626
8 1,528 0,124 9 7,622 0,249
10 2,141 0,040 4 2,473 0,942
сумма         3,363
Наблюдаемое значение критерия
χнабл2=3,363
Пот таблице критических значений χкр2 при уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы k=8-3=5 найдем χкр2=11,1
χнабл2<χкр2
нулевую гипотезу о нормальном распределении можно принять при данном уровне значимости
6) В случае принятия гипотезы найти интервальные оценки параметров нормального распределения (доверительную вероятность принять равной 1 0,95 ).
xв-tγSn<a<xв+tγSn
2Фtγ=γ Фtγ=γ2=0,952=0,475 tγ=1,96
3,02-1,96∙3,26100<a<3,02+1,96∙3,26100
2,381<a<3,659
n-1Sχα1,k<σ<n-1Sχα2,k
α1=1-γ2=1-0,952=0,025 α2=1+γ2=1+0,952=0,975
2,156<σ<6,635