Исследуйте на экстремум функционалы 026y'2-y'4+yy'dx

Имеем:
Lx,y,y'=6y'2-y'4+yy'
∂L∂y=y'
∂L∂y'=12y'-4y'3+y
Тогда:
ddx∂L∂y'=12y''-12y'2y''+y'
Записываем уравнение Эйлера:
∂L∂y-ddx∂L∂y'=0
В нашем случае:
y'-12y''-12y'2y''+y'=0
Или:
y''-y'2y''=0
y''1-y'2=0
Имеем два возможных варианта:
1-y'2=0 y'=±1 y=±x+c
y''=0 y=c1x+c2
Поскольку y=±x+c является частным случаем y=c1x+c2 при c1=±1, то находим допустимую экстремаль из семейства y=c1x+c2 . Используем граничные условия: y0=0,y2=3:
0=c23=2c1+c2 c1=32c2=0
Получили допустимую экстремаль:
y=3x2
Для всякой функции ηx∈C1[0;2], такой что η0=η2=0, имеем:
∆J=Jy+η-Jy=
=026y'+η'2-y'+η'4+y+ηy'+η'dx-026y'2-y'4+yy'dx
=1202y'η'dx+602η'2dx-02y'+η'4dx+02y'4dx+02yη'dx+02ηy'dx+02ηη'dx
Далее, с учетом того, что η0=η2=0:
02y'η'dx=dv=η'dxv=ηu=y'du=y''dx=y'η02=0-02y''ηdxy''=0=0
02yη'dx+02ηy'dx=dv=η'dxv=ηu=ydu=y'dx=yη02=0-02y'ηdx+02ηy'dx=0
02ηη'dx=η2202=0
Получили:
∆J=602η'2dx-02y'+η'4dx+02y'4dx=y'=32=
=-02152η'2+6η'3+η'4dx=-02η'2η'2+6η'+152dx=
=-02η'2η'+32-32любой знакdx
Это означает, что допустимая экстремаль не дает экстремум функционала.