Исследуется зависимость смазывающих свойств моторного масла от состава и содержания присадки, содержащей три компонента. При проведении полного факторного эксперимента получены результаты y1, y2,y3 представлены в таблице. Получить уравнение регрессии, провести проверку на воспроизводимость результатов эксперимента, значимость коэффициентов регрессии, адекватность математической модели.
y1
y2
y3
-47,65 -41,97 -41,53
-5,68 -5 -4,95
78,44 69,08 68,36
32,49 28,61 28,31
65,25 57,47 56,87
-12,6 -11,1 -10,98
36,23 31,91 31,57
43,19 38,04 37,65
Решение
Факторы: x1 – содержание (массовая доля) первого компонента в присадке; x2 – содержание второго компонента в присадке; x3 – содержание присадки в масле. Содержание компонентов в присадке может колебаться от 0% до 100%. Следовательно, для x1 и x2 принимается основной уровень 0,5 (50%), интервал варьирования 0,25 (25%). Содержание присадок в масле не превышает 4%. Поэтому в качестве основного уровня x3 принимается 0,02 (2%), интервал варьирования 0,01 (1%). Условие эксперимента сводится в таблице.
Условия проведения эксперимента
Факторы xt
Уровни факторов x1
x2
x3
Основной уровень 0,5 0,5 0,02
Интервал варьирования 0,25 0,25 0,01
Верхний уровень 0,75 0,75 0,03
Нижний уровень 0,25 0,25 0,01
В качестве выходного параметра (отклика) рассматривается изменение момента силы трения y, который определяется экспериментально, после проведения испытаний в стандартных условиях с маслом с присадкой и на масляной основе без присадки. Расширенный план эксперимента (ПФЭ) представлен в таблице.
Расширенный план эксперимента
№ точки факторного пространства, i
x0
x1
x2
x3
x1x2
x1x3
x2x3
x1x2x3
1 + - - - + + + -
2 + + - - - - + +
3 + - + - - + - +
4 + + + - + - - -
5 + - - + + - - +
6 + + - + - + - -
7 + - + + - - + -
8 + + + + + + + +
Здесь столбцы x1, x2,x3 образуют матрицу плана. Эти столбцы задают планирование – по ним определяются условия опытов. Последующие столбцы матрицы получаются перемножением соответствующих значений факторов x1, x2,x3. В матрицу добавляется еще один столбец – фиктивная переменная x0 (значение x0 одинаково во всех строчках и равно +1) для расчета свободного члена a0 в уравнении регрессии
y=a0+a1x1+a2x2+a3x3+a12x1x2+a13x1x3+a23x2x3+a123x1x2x3
Полученные результаты эксперимента представлены в таблице.
Результаты эксперимента
№ точки факторного пространства, i
Результаты серии опытов, yt
y1
y2
y3
1 -47,65 -41,97 -41,53
2 -5,68 -5 -4,95
3 78,44 69,08 68,36
4 32,49 28,61 28,31
5 65,25 57,47 56,87
6 -12,6 -11,1 -10,98
7 36,23 31,91 31,57
8 43,19 38,04 37,65
Значение среднего арифметического (средний отклик по K опытам) серии опытов для каждой точки факторного пространства i
yi=1Kt=1Kyit, i=1,N
K=3 – количество серий опытов.
N=8 – факторного пространства.
t=3 – номер серии опытов.
y1=13-47,65-41,97-41,53≈-43,72
y2=13-5,68-5-4,95=-5,21
y3=1378,44+69,08+68,36=71,96
y4=1332,49+28,61+28,31≈29,8
y5=1365,25+57,47+56,87≈59,86
y6=13-12,6-11,1-10,98=-11,56
y7=1336,23+31,91+31,57≈33,24
y8=1343,19+38,04+37,65≈39,63
Опыт считается воспроизводимым, если дисперсия Dyiвыходного параметра yi однородна в каждой точке факторного пространства
. Оценка σyi дисперсии Dyi определяется для каждой точки факторного пространства по формуле
σyi2=1K-1t=1Kyit-y82
σy12=13-1∙-47,65--43,722+-41,97--43,722+-41,53--43,722=12∙15,4449+3,0625+4,7961≈11,65
σy22=13-1∙-5,68--5,212+-5--5,212+-4,95--5,212=12∙0,2209+0,0441+0,0676≈0,17
σy32=13-1∙78,44-71,962+69,08-71,962+68,36-71,962=12∙41,9904+8,2944+12,96≈31,62
σy42=13-1∙32,49-29,82+28,61-29,82+28,31-29,82=12∙7,2361+1,4161+2,2201≈5,44
σy52=13-1∙65,25-59,862+57,47-59,862+56,87-59,862=12∙29,0521+5,7121+8,9401≈21,85
σy62=13-1∙-12,6--11,562+-11,1--11,562+-10,98--11,562=12∙1,0816+0,2116+0,3364≈0,81
σy72=13-1∙36,23-33,242+31,91-33,242+31,57-33,242=12∙8,9401+1,7689+2,7889≈6,75
σy82=13-1∙43,19-39,632+38,04-39,632+37,65-39,632=12∙12,6736+2,5281+3,9204≈9,56
Воспроизводимость результатов эксперимента (однородность дисперсий) определяется по критерию Кохрена
Gp=maxσyi2i=1Nσyi2=31,6287,85≈0,36
Критическое значение Gкр находим по таблице G-распределения по числу степеней свободы числителя f1=K-1=3-1=2, знаменателя f2=N=8 и доверительной вероятности α=0,95
Gкр=0,52
Так как Gp<Gкр 0,36<0,52, то дисперсии однородны.
Коэффициенты линейной регрессии aj перед факторами
aj=1Ni=1Nxityi
j – номер коэффициента линейной регрессии фактора j=1,2,3.
a1=18i=18xi1∙yi=18-1∙-43,72++1∙-5,21+-1∙71,96++1∙29,8+-1∙59,86++1∙-11,56+-1∙33,24++1∙39,63=1843,72-5,21-71,96+29,8-59,86-11,56-33,24+39,63=-68,688≈-8,59
a2=18i=18xi2∙yi=18-1∙-43,72+-1∙-5,21++1∙71,96++1∙29,8+-1∙59,86+-1∙-11,56++1∙33,24++1∙39,63=1843,72+5,21+71,96+29,8-59,86+11,56+33,24+39,63=175,268≈21,91
a3=18i=18xi3∙yi=18-1∙-43,72+-1∙-5,21+-1∙71,96+-1∙29,8++1∙59,86++1∙-11,56++1∙33,24++1∙39,63=1843,72+5,21-71,96-29,8+59,86-11,56+33,24+39,63=68,348≈8,54
Коэффициенты парных эффектов взаимодействий
ajk=1Ni=1Nxijxikyi
a12=18i=18xi1∙xi2∙yi=18+1∙-43,72+-1∙-5,21+-1∙71,96++1∙29,8++1∙59,86+-1∙-11,56+-1∙33,24++1∙39,63=18-43,72+5,21-71,96+29,8+59,86+11,56-33,24+39,63=-2,868≈-0,36
a13=18i=18xi1∙xi3∙yi=18+1∙-43,72+-1∙-5,21++1∙71,96+-1∙29,8+-1∙59,86++1∙-11,56+-1∙33,24++1∙39,63=18-43,72+5,21+71,96-29,8-59,86-11,56-33,24+39,63=-61,388≈-7,67
a23=18i=18xi2∙xi3∙yi=18+1∙-43,72++1∙-5,21+-1∙71,96+-1∙29,8+-1∙59,86+-1∙-11,56++1∙33,24++1∙39,63=18-43,72-5,21-71,96-29,8-59,86+11,56+33,24+39,63=-126,128≈-15,77
a123=18i=18xi1∙xi2∙xi3∙yi=18-1∙-43,72++1∙-5,21++1∙71,96+-1∙29,8++1∙59,86+-1∙-11,56+-1∙33,24++1∙39,63=1843,72-5,21+71,96-29,8+59,86+11,56-33,24+39,63=158,488=19,81
Свободный член
a0=1Ni=1Nxi0yi
a0=18i=18xi0∙yi=18+1∙-43,72++1∙-5,21++1∙71,96++1∙29,8++1∙59,86++1∙-11,56++1∙33,24++1∙39,63=18-43,72-5,21+71,96+29,8+59,86-11,56+33,24+39,63=1748=21,75
Проверяем значимость коэффициентов регрессии
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
