Исследование функции и построение графика рекомендуется проводить по следующей схеме:
1) найти область определения функции D(y):
2) исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в точках разрыва:
3) найти точки экстремума функции и определить интервалы ее монотонности:
4) найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика:
5) найти асимптоты графика функции:
6) построить график, используя результаты предыдущих исследований:
7) для функции из пункта а) найти дополнительно наибольшее и наименьшее значения на отрезке [α;β].
64. a) y=x3+3x2-9x-10, α=-1, β=2;
b) y=x2-8x-3
Решение
A) y=x3+3x2-9x-10, α=-1, β=2
1) Область определения функции:
Dy=-∞;∞
2) y-x=(-x)3+3(-x)2-9-x-10=
=-x3+3x2+9x-10≠-yx, ≠yx, следовательно, функция ни четная ни нечетная (функция общего положения).
Функция не является периодической.
Точки пересечения с осями координат
x=0, y0=-10
Значит точка 0;-10 является точкой пересечения графика функции с осью Oy.
yx=0; x3+3x2-9x-10=0;
x1≈-4,5; x2≈-0,9; x3≈2,4
Значит точки -4,5;0,-0,9;0, (2,4;0) являются точками пересечения графика функции с осью Ox.
Точек разрыва нет, так как функция определена на всей числовой оси.
3) Экстремумы (максимумы и минимумы) и монотонность (возрастание и убывание)
Найдем производную:
y'=(x3+3x2-9x-10)'=3x2+6x-9=3(x2+2x-3)
Найдем нули производной (критические точки): y'x=0;
3(x2+2x-3)=0
D=4-4*1*(-3)=16
x1=-2-42=-3; x2=-2+42=1
Составим таблицу
x
-∞;-3
-3 -3;1
1 1;+∞
y'
+ 0 - 0 +
y
возрастает 17 убывает -15 возрастает
-3;17– точка максимума
(1;-15) – точка минимума
4) Точки перегиба
y''=y''=3(x2+2x-3)'=6x+6
y''x=0; 6x=-6;
x=-1
x
-∞;-1
-1 (1;∞)
y''
- 0 -
y
выпукла 1 выпукла
-1;1 – точки перегиба
5) Асимптоты
Функция непрерывна на всей числовой оси, поэтому вертикальных асимптот нет
Найдем наклонные (горизонтальные) асимптоты y=kx+b
k=limx→∞yxx=limx→∞x3+3x2-9x-10 x=limx→∞(x2+3x-9-10x)=∞
Следовательно, наклонных и горизонтальных асимптот нет
6) Строим график функции
7) Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-1;2]
y'=(x3+3x2-9x-10)'=3x2+6x-9=3(x2+2x-3)
y'x=0;
3(x2+2x-3)=0
D=4-4*1*(-3)=16
x1=-2-42=-3; x2=-2+42=1
f-3=(-3)3+3∙-32-9∙-3-10=17 - не принадлежит отрезку [-1;2]
f1=13+3∙12-9∙1-10=-15
Вычисляем значения данной функции на границах промежутка:
f-1=(-1)3+3∙-12-9∙-1-10=1
f2=23+3∙22-9∙2-10=-8
Сравнивая полученные значений, получаем:
fнаим=-15 при x=1, fнаиб=1 при x=-1
Ответ: fнаим=-15 при x=1, fнаиб=1 при x=-1
b) y=x2-8x-3
1) Область определения функции:
Dy=-∞;3∪(3;∞)
2) y-x=(-x)2-8-x-3=x2-8-x-3≠-yx, ≠yx, следовательно, функция ни четная ни нечетная (функция общего положения).
Функция не является периодической.
Точки пересечения с осями координат
y=0,x=±8
Значит точки -8;0;(8;0) являются точками пересечения графика функции с осью Ox.
x=0; y=83;
Значит точка (0;83) является точкой пересечения графика функции с осью Oy.
x=3 - точка разрыва, найдем односторонние пределы в этой точке
limx→3-0x2-8x-3=-∞
limx→3+0x2-8x-3=∞
Таким образом, x=3 - вертикальная асимптота.
3) Экстремумы (максимумы и минимумы) и монотонность (возрастание и убывание)
Найдем производную:
y'=(x2-8x-3)'=x2-8'x-3-x2-8x-3'x-32 =2xx-3-x2-8∙1x-32=2x2-6x-x2+8x-32=
=x2-6x+8x-32
Найдем нули производной (критические точки): y'x=0;
x2-6x+8 =0
D=36-4*1*8=4
x1=6-22=2; x2=6+22=4
Составим таблицу
x
-∞;2
2 2;3
3 3;4
4 4;+∞
y'
+ 0 - Не сущест
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
