Исследовать сходимость числового ряда с помощью признака Даламбера

Воспользуемся принципом Даламбера
an=n+1n+23n,
an+1=n+2n+33n+1=n+2n+33⋅3n,
an+1an=n+2n+33⋅3nn+1n+23n=n+33n+1=n+33n+3,
limn→∞an+1an=limn→∞n+33n+3=limn→∞1+3n3+3n=13<1.
По принципу Даламбера, ряд сходится.
2. По принципу Лейбница, знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, а модуль общего члена стремится к нулю.
Для знакочередующегося ряда (n+1 — синие точки, ln(n+1) — оранжевые)
n=1∞-1nlnn+1n+1
оба условия выполнены, и он сходится.
3 . Имеем
R=limn→∞anan+1.
Здесь
an=14n3n+5,
an+1=14n+13n+1+5=14⋅4n3n+8,
anan+1=anan+1=4⋅4n3n+84n3n+5=43n+83n+5,
R=limn→∞43n+83n+5=limn→∞43+8n3+5n=4.
Следовательно, ряд сходится, если -4<x+2<4, т.е. -6<x<2.
Исследуем сходимость ряда на концах интервала (–6, 2). При х=–6 имеем знакочередующийся числовой ряд
n=1∞-6+2n4n3n+5=n=1∞-4n4n3n+5=n=1∞-1n4n-13n+5
И он, очевидно, сходится. При х=2 имеем числовой ряд
n=1∞2+2n4n3n+5=n=1∞4n4n3n+5=n=1∞14n-13n+5.
Проверим его сходимость по признаку Даламбера:
limn→∞an+1an=limn→∞14n3n+814n-13n+5=limn→∞4n-13n+54n3n+8=limn→∞3n+543n+8=14<0.
И этот ряд сходится.
Итак, исходный степенной ряд
n=1∞x+2n4n3n+5
сходится при x∈-6, 2.
4