Исследовать на сходимость и равномерную сходимость последовательности. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Исследовать на сходимость и равномерную сходимость последовательности

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость последовательности .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость последовательности fn(x) на множествах E1 и E2. fnx=ln2+nx1+n2x2, E1=0;12, E2=12;+∞.

Ответ

fx=ln2,на E1 сходится неравномерно; на E12 сходится равномерно.

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Limn→∞fnx=limn→∞ln2+nx1+n2x2=ln2=f(x).
fnx-fx=ln2+nx1+n2x2-ln2=
=ln2+ln1+nx21+n2x2-ln2=ln1+nx21+n2x2
Рассмотрим последовательность
xn=13n∈E1, ∀n∈N.
fnxn-fxn=ln1+n∙13n21+n213n2=ln1+1321+19=
=ln1+320=ln2320.
Таким образом,
∃ε0=ln2320, ∀n∈N ∃xn=13n∈E1: fnxn-fxn=ε0⇒
fnx→fx на E1 неравномерно.
Пусть x∈E2.
fnx-fx=ln2+nx1+n2x2-ln2=
=ln21+nx21+n2x2-ln2=ln2+ln1+nx21+n2x2-ln2=
=ln1+nx21+n2x2≤ nx21+n2x2<nx2n2x2=12nx<1n=an
Тогда по достаточному условию равномерной сходимости последовательности, имеем
limn→∞1n=0⇒fnx⇉fx на E2.
Ответ: fx=ln2,на E1 сходится неравномерно; на E12 сходится равномерно.

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу